Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成四個(gè)小矩形，EF與GH交于點(diǎn)P，連接AF、AH、FH．

（1）如圖1，若a＝1，AE＝AG＝，求FH的值；

（2）如圖2，若∠FAH＝45°，證明：AG+AE＝FH；

（3）若Rt△GBF的周長(zhǎng)l＝a，求矩形EPHD的面積S與l的關(guān)系（只寫結(jié)果，不寫過程）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）S＝．

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可求CF＝CH＝，由勾股定理可求解；

（2）將△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，可得△AFH≌△AFM然后可求得結(jié)論；

（3）設(shè)BF＝x，GB＝y，根據(jù)線段之間的關(guān)系利用勾股定理求出xy的值，即可求矩形EPHD的面積S與l的關(guān)系．

解：（1）∵AE＝AG＝，AB＝AD＝1，

∴DE＝GB＝，

∵BC∥GH，BG∥CH，

∴CH＝GB＝，

∵DE∥CF，EF∥CD，

∴CF＝DE＝，

∴FH＝；

（2）如圖2，將△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABM的位置．

∵四邊形ABCD是正方形，∠FAH＝45°，

∴∠BAF+∠HAD＝45°，

∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠MAB＝∠BAF，

∴∠MAF＝∠FAH，

在△AMF與△AHF中，

，

∴△AMF≌△AHF（SAS）．

∴MF＝HF．

∵MF＝MB+BF＝HD+BF＝AG+AE，

∴AG+AE＝FH；

（3）設(shè)BF＝x，GB＝y，則FC＝a﹣x，AG＝a﹣y，（0＜x＜a，0＜y＜a）

在Rt△GBF中，GF2＝BF2+BG2＝x2+y2

∵Rt△GBF的周長(zhǎng)為a，

∴，

即

即

整理得，

∴矩形EPHD的面積．