Question

【題目】閱讀下列短文：

如圖，G是四邊形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過G作GE∥CD交AD于E，GF∥CB交AB于F，若EG=FG，則有BC=CD成立，同時(shí)可知四邊形ABCD與四邊形AFGE相似．

解答問題：

（1）有一塊三角形空地（如圖△ABC），BC鄰近公路，現(xiàn)需在此空地上修建一個(gè)正方形廣場(chǎng)，其余地為草坪，要使廣場(chǎng)一邊靠公路，且其面積最大，如何設(shè)計(jì)，請(qǐng)你在下面圖中畫出此廣場(chǎng)正方形．（尺規(guī)作圖，不寫作法）

（2）銳角△ABC是一塊三角形余料，邊AB=130mm，BC=150mm，AC=140mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在三角形的一邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在另外兩條邊上，且剪去正方形零件后剩下的邊角料較少，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？你能得出什么結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先在AB上任取一點(diǎn)O，過O作BC的垂線，然后作出以O(shè)M為一邊的正方形OMNP，連接BP并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作BC的垂線交BC于點(diǎn)H，再以EH為邊作正方形EFGH即可；

（2）過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD與Rt△ACD中，根據(jù)AD是公共邊利用勾股定理列式求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，然后利用△ABC的面積求出AB、AC邊上的高，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列出比例式求解得到正方形的邊長(zhǎng)與三角形的邊與相應(yīng)邊上的高的關(guān)系，然后判斷出當(dāng)邊與邊上的高的和最小時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)最大，剪去正方形零件后剩下的邊角料較少，然后計(jì)算即可得解．

試題解析：（1）如圖；

（2）如圖，過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則CD=BC﹣BD=150﹣BD，

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2=1302﹣BD2，

在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣CD2=1402﹣（150﹣BD）2，

所以，1302﹣BD2=1402﹣（150﹣BD）2，

解得BD==66，

所以，AD2=1302﹣662=12544，

AD=112mm，

設(shè)AB、AC邊上的高分別為hAB，hAC，

則S△ABC=×130×hAB=×140×hAC=×150×112，

解得hAB=129mm，hAC=120mm，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，

即，

整理得，a=，

∵BCAD是△ABC面積的2倍，

∴BC+AD，也就是三角形一條邊與這條邊上的高的和越小，則加工成的正方形的邊長(zhǎng)越大，面積也就是越大，剪去正方形零件后剩下的邊角料較少，

130+129=259mm，

140+120=260mm，

150+112=262mm，

∵259＜260＜262，

∴有兩個(gè)頂點(diǎn)在AB=130mm邊上加工成的正方形的面積最大，

這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為=64mm．

結(jié)論：正方形的一條邊在三角形的哪一條邊上，則正方形的邊長(zhǎng)等于這條邊與這條邊上的高的積除以它們的和，并且最短邊上的正方形的邊長(zhǎng)最大．