Question

 如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．把三角形沿AE對(duì)折使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)F上，CD與折痕AE相交于G，連結(jié)FG并延長(zhǎng)交AC于H．

（1）判斷FH與BC的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）判斷HG與DG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

 

 

Answer 1

（1）FH∥BC；理由見解析；（2）HG=DG；理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）連接EF，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得∠CAE=∠EAF，∠AFE=90°，CE=EF，根據(jù)垂直的定義可得∠ADC=90°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行判斷出EF∥CD，然后根據(jù)等角的余角相等求出∠AGD=∠AEC，再求出∠CGE=∠AEC，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CG=CE，然后求出CG=EF，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形CEFG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行可得GF∥CE，即FH∥BC；

（2）根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AHG=∠ACB=90°，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得HG=DG．

試題解析：（1）【解析】
如圖，連接EF，

由翻折的性質(zhì)得，∠CAE=∠EAF，∠AFE=∠ACB=90°，CE=EF，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADC=∠AFE，

∴EF∥CD，

∵∠CAE=∠EAF，∠CAE+∠AEC=∠EAF+∠AGD=90°，

∴∠AGD=∠AEC，

又∵∠AGD=∠CGE（對(duì)頂角相等），

∴∠CGE=∠AEC，

∴CE=CG，

∴CG=EF，

∴四邊形CEFG是平行四邊形，

∴GF∥CE，

即FH∥BC；

（2）【解析】
∵FH∥BC，

∴∠AHG=∠ACB=90°，

又∵∠CAE=∠EAF，

∴HG=DG．

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）．