Question

如圖，過反比例函數(shù)y=

4

x

圖象上一點(diǎn)A分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)B，C，兩條垂線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形為正方形，過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，作EF∥x軸，分別交AB和反比函數(shù)圖象于點(diǎn)G、F，連接BF，AF．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和一次函數(shù)解析式；
（2）求四邊形ADBF的面積；
（3）猜想線段DE和線段BF有怎樣的關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，求出正方形ABOC的面積，利用OB=OA，求出A的坐標(biāo)；將A的坐標(biāo)代入解析式即可求出一次函數(shù)中k的值，從而得到一次函數(shù)解析式；
（2）計(jì)算出E點(diǎn)坐標(biāo)、F點(diǎn)坐標(biāo)，求出DB、AB、GF的長(zhǎng)，計(jì)算出S_△ADB+S_△ABF的值即為四邊形ADBF的面積．
（3）根據(jù)E、F及D、B的坐標(biāo)，求出EF和DB的長(zhǎng)，再根據(jù)EF∥DB，判斷出四邊形DBFE為平行四邊形，從而得到線段DE和線段BF的關(guān)系．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

4

x

圖象上，
反比例函數(shù)比例系數(shù)為4，
則正方形ABOC的面積為4，
即OB×AB=4，
AB=OB=2，
A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
將A（2，2）代入y=kx+1得，2k+1=2，k=

1

2

，
函數(shù)解析式為y=

1

2

x+1．

（2）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，e），代入y=

1

2

x+1得，e=1．
由于EF∥x軸，
可得F點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
將y=1代入y=

4

x

得，x=4，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）．
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（d，0），代入y=

1

2

x+1得，0=

1

2

d+1，
d=-2，D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）．
S_{四邊形ADBF}=S_△ADB+S_△ABF=

1

2

×4×2+

1

2

×2×2=4+2=6．

（3）∵EF=DB=4，EF∥DB，
∴四邊形DBFE為平行四邊形，
則DE與BF平行且相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與函數(shù)的關(guān)系等，要結(jié)合圖形進(jìn)行探究方可順利解答．