Question

【題目】（1）如圖1.等邊的邊長為2，點為邊上一點，連接，則長的最小值是________；

（2）如圖2，己知菱形的周長為16，面積為，為中點，若為對角線上一動點，為邊上一動點，計算的最小值；

（3）如圖3，己知在四邊形中，，，，為邊上一個動點，連接，過點作，垂足為點，在上截取.試問在四邊形內是否存在點，使得的面積最��？若存在.請你在圖中畫出點的位置，并求出的最小面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）根據垂線段最短即可解決問題．
（2）如圖2中，作AH⊥BC于H，在DC上截取DQ′＝DQ，連接PQ′，AC，EC．首先證明△ABC是等邊三角形，證明△PDQ≌△PDQ′（SAS），可得PQ＝PQ′，推出PE＋PQ＝PE＋PQ′，再根據垂線段最短即可解決問題．
（3）存在，如圖3中，以AD為斜邊在直線AD的下方作等腰直角△ADO，作OM⊥BC于M，AN⊥OM于N，連接AC，PD．證明點P的運動軌跡是，當點P在線段OM上時，PM的值最小，此時△PBC的面積最�。�

解：（1）如圖1中，根據垂線段最短可知，當AD⊥BC時，線段AD的值最小，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△ABC的高AD＝，
∴AD的最小值為．
故答案為:．
（2）如圖2中，作AH⊥BC于H，在DC上截取DQ′＝DQ，連接PQ′，AC，EC．

∵四邊形ABCD是菱形，周長為16，
∴AB＝BC＝4，∠QDP＝∠Q′DP，
∴S菱形ABCD＝BCAH，
∴AH＝，
∴sin∠ABH＝ ，
∴∠ABH＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AE＝EB，
∴EC⊥AB，
∵DQ＝DQ′，∠PDQ＝∠PDQ′，DP＝DP，
∴△PDQ≌△PDQ′（SAS），
∴PQ＝PQ′，
∴PE＋PQ＝PE＋PQ′，
根據垂線段最短可知，當E，P，Q′共線，且點Q′與C重合時，
PE＋PQ′的值最小，最小值＝EC＝AH＝．
∴PE＋PQ的值最小，最小值為:．
（3）存在，理由如下：
如圖3中，以AD為斜邊在直線AD的下方作等腰直角△ADO，作OM⊥BC于M，AN⊥OM于N，連接AC，PD．

∵BA＝BC＝，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝8，∠BAC＝45°，
∵∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝ACcos30°＝，
∵△ADO是等腰直角三角形，
∴OA＝OD＝，
∵∠ABM＝∠NMB＝∠ANM＝90°，
∴四邊形ABMN是矩形，
∴AB＝MN＝ ，∠BAN＝90°，
∴∠OAN＝75°＋45°90°＝30°，
∴ON＝OA＝，
∴OM＝，
∵DF⊥AE，FP＝FD，
∴∠FPD＝45°，
∴∠APD＝135°，
∴點P的運動軌跡是，
當點P在線段OM上時，PM的值最小，此時△PBC的面積最小，
此時PM＝OMOP＝，
∴△PBC的面積的最小值＝BCPM＝．