Question

【題目】菱形中，對角線，，動點、分別從點、同時出發(fā)，運動速度都是，點由向運動；點由向運動，當到達時，、兩點運動停止，設時間為秒()．連接，，．

(1)當為何值時，；

(2)設的面積為，請寫出與的函數(shù)關系式；

(3)當為何值時，的面積是四邊形面積的？

(4)是否存在值，使得線段經(jīng)過的中點？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=1 （2）y= - t2+t（0＜t≤4） （3）t=15- （4）存在，t=

【解析】

（1）如圖1中，作CH⊥AB于H交BD于M．由PQ∥CM，可得 ，由此構建方程即可解決問題；
（2）如圖2中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．根據(jù)y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP，計算即可解決問題；
（3）由△APQ的面積是四邊形AQPD面積的，推出S△APQ=2S△APD，由此構建方程即可解決問題；
（4）如圖4中，作PH⊥AC于H．由OQ∥PH，ON=NC= ，可得 ，由此構建方程即可解決問題；

（1）如圖1中，作CH⊥AB于H交BD于M．

∵四邊形ABCD是菱形，AC=6cm,BD=8cm

∴OA=AC=3cm，OB=BD=4cm，AC⊥BD

在直角三角形AOB中，

AB=cm

S菱形ABCD=cm2

∴CH=，AH=cm，
∵∠MCO=∠ACH，∠COM=∠CHA=90°，
∴△COM∽△CHA，
∴ ，
∴ ，
∴OM=cm ，
∵PQ⊥AB，CH⊥AB，∴PQ∥CM，
∴，
∴ ，
∴t=1，
∴t=1s時，PQ⊥AB．
（2）如圖2中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=3cm，OB=OD=4cm，
∴∠COD=90°，
∴CD=cm

∵ACOD=CDAM，
∴AM=cm

∵OQ=CP=t，
∴DQ=4+t．PD=5-t．
∵PH∥OC，
∴ ，
∴

∴PH=（5-t），
∴y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP=（4+t）3+（4+t）（5-t）-（5-t） =- t2+t（0＜t≤4）．
（3）如圖3中，

∵△APQ的面積是四邊形AQPD面積的 ，
∴S△APQ=2S△APD，
∴ t2+t=2（5-t），
解得t=15- 或15+（舍棄），
∴t=15-時，△APQ的面積是四邊形AQPD面積的 ．
（4）存在，如圖4中，作PH⊥AC于H．

∵OQ∥PH，ON=NC=，
∴ ，
∴ ，
∴t= ，
∴t=時，PQ經(jīng)過線段OC的中點N．