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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B.

          (1)①直接寫出點B的坐標;②求拋物線解析式.

          (2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC.求PAC的面積的最大值,并求出此時點P的坐標.

          (3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點的三角形與ABC相似?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)1,0);y=x2x+2(2)當m=﹣2時,PAC的面積有最大值是4,此時P(﹣2,3).(3)存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點A、M、N為頂點的三角形與ABC相似.

          【解析】

          試題分析:(1)①先求的直線y=x+2與x軸交點的坐標,然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標;②設拋物線的解析式為y=y=a(x+4)(x﹣1),然后將點C的坐標代入即可求得a的值;

          (2)設點P、Q的橫坐標為m,分別求得點P、Q的縱坐標,從而可得到線段PQ=m2﹣2m,然后利用三角形的面積公式可求得SPAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得PAC的面積的最大值以及此時m的值,從而可求得點P的坐標;

          (3)首先可證明ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可:①當M點與C點重合,即M(0,2)時,MAN∽△BAC;②根據(jù)拋物線的對稱性,當M(﹣3,2)時,MAN∽△ABC; ④當點M在第四象限時,解題時,需要注意相似三角形的對應關系.

          解:(1)①y=當x=0時,y=2,當y=0時,x=﹣4,

          C(0,2),A(﹣4,0),

          由拋物線的對稱性可知:點A與點B關于x=﹣對稱,

          點B的坐標為1,0).

          拋物線y=ax2+bx+c過A(﹣4,0),B(1,0),

          可設拋物線解析式為y=a(x+4)(x﹣1),

          拋物線過點C(0,2),

          2=﹣4a

          a=

          y=x2x+2.

          (2)設P(m,m2m+2).

          過點P作PQx軸交AC于點Q,

          Q(m,m+2),

          PQ=m2m+2﹣(m+2)

          =m2﹣2m,

          SPAC=×PQ×4,

          =2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4,

          當m=﹣2時,PAC的面積有最大值是4,

          此時P(﹣2,3).

          (3)在RtAOC中,tanCAO=在RtBOC中,tanBCO=

          ∴∠CAO=BCO,

          ∵∠BCO+OBC=90°,

          ∴∠CAO+OBC=90°

          ∴∠ACB=90°,

          ∴△ABC∽△ACO∽△CBO,

          如下圖:

          ①當M點與C點重合,即M(0,2)時,MAN∽△BAC

          ②根據(jù)拋物線的對稱性,當M(﹣3,2)時,MAN∽△ABC

          ③當點M在第四象限時,設M(n,n2n+2),則N(n,0)

          MN=n2+n﹣2,AN=n+4

          時,MN=AN,即n2+n﹣2=(n+4)

          整理得:n2+2n﹣8=0

          解得:n1=﹣4(舍),n2=2

          M(2,﹣3);

          時,MN=2AN,即n2+n﹣2=2(n+4),

          整理得:n2﹣n﹣20=0

          解得:n1=﹣4(舍),n2=5,

          M(5,﹣18).

          綜上所述:存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點A、M、N為頂點的三角形與ABC相似.

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