Question

【題目】如圖，已知中，，，是邊的中點，將繞點旋轉得到，平分交于點，交于點，連接．下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論有______（只填寫序號）．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據(jù)旋轉性質、平行線性質證得EC=EA=BC，推出∠DCB=120°，再由角平分線的性質推出∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，推出EA=EB=EC,然后根據(jù)中位線定理得出=60°，即可判斷結論①正確；由平行線分線段成比例定理得出OB=3OF，S△COB=3S△COF，進而得出結論②正確；由∠ACB=90°，設BC=a, 則AB=2a，AC=a，

OA=OC=a，根據(jù)勾股定理得出OD，進而求得結論③正確；根據(jù)以上線段的關系用含a的代數(shù)式表示：OD=，OF=，FB=，即可求得，即結論④錯誤．

解：根據(jù)旋轉性質可知，OD=OB，OA=OC，∠ACD=∠CAB，

∴CD//AB

∵CD//AB，∠ABC=60°,

∴∠DCB+∠ABC=180°,
∴∠DCB=120°,
∵EC平分∠DCB,
∴∠ECB=∠DCB=60°,
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°,△ECB是等邊三角形,
∴EB=BC,
∵AB=2BC,
∴EA=EB=EC,
∵OA=OC，

∴OE∥BC

∴∠AEO=∠ABC=60°

∴∠CEO=60°

∴

故結論①正確；
∵OE∥BC，AE=EB

∴2OE=BC

∴2OF=BF

∴OB=3OF∴S△COB=3S△COF

∵S△COB=S△AOD

∴OB=3OF

故結論②正確；

∵AE=EC，∠CEB=60°

∴∠ACE=∠A=30°，

∴∠ACB=90°

設BC=a，則AB=2a，AC=a，

∴OA=OC=a

OD=OB=

∴

故結論③正確；

∵OD=，OF=，FB=

∴

OF·OD=

∴

故結論④不成立

故答案為：①②③