Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線：與軸交于點(diǎn)，與拋物線的另一個交點(diǎn)為，己知，，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)（不與、重合）．

（1）直接寫出拋物線和直線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上方的拋物線上時(shí)，連接、，

①當(dāng)的面積最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是________；

②當(dāng)平分時(shí)，求線段的長．

（3）設(shè)為直線上的點(diǎn)，探究是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、，、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②；（3）存在，或或或．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別代入直線表達(dá)式、拋物線的表達(dá)式，即可求解；
（2）①先找出當(dāng)的面積最大時(shí)，點(diǎn)的位置為與直線平行且與拋物線相切的點(diǎn)，設(shè)直線解析式為，即有唯一解，求出的值，再解方程求出x、y，即為P點(diǎn)的坐標(biāo)；②過作軸于點(diǎn)，由先求出，根據(jù)平分線定義得，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意有，求出t的值，進(jìn)而求得PA的長；

（3）分NC是平行四邊形的一條邊、NC是平行四邊形的對角線，兩種情況分別求解即可．

解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：，解得：，

故直線的表達(dá)式為：，

將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，

同理可得拋物線的表達(dá)式為：；

（2）①當(dāng)的面積最大時(shí)，點(diǎn)到直線的距離就最大，

所以點(diǎn)在與直線平行并且與拋物線相切的直線上，即點(diǎn)是這兩個圖像的唯一交點(diǎn)．

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意有：

∴

∵直線與拋物線相切，即只有一個交點(diǎn)

∴ ∴

∴

∴ ∴

由此得點(diǎn)坐標(biāo)為

②過作軸于點(diǎn)，

由直線的解析式，可得

∴

∵ ∴

∴當(dāng)平分時(shí)，，則

∴是等腰直角三角形

∴

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意有

∴，（舍去）

∴

∴

（3），

①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí)，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為、則點(diǎn)，

由題意得：，即：，

解得：或0或4（舍去0），

則：或或-5

則點(diǎn)坐標(biāo)為或或；

②當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí)，

則的中點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為、則點(diǎn)，

、，、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則的中點(diǎn)即為中點(diǎn)，

即：，，

解得：或4（舍去0），d=﹣4,-d-1=3

故點(diǎn)；

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為：或或或．