Question

1．如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處．分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過O，D，C三點(diǎn)．
（1）求AD的長及拋物線的解析式；
（2）一動點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊圖形的軸對稱性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的長，進(jìn)而可得到AE的長；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長．進(jìn)一步能確定D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°時(shí)，△ADE∽△QPC，②當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°時(shí)，△ADE∽△PQC，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出關(guān)于t的方程，求得t的值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由折疊的性質(zhì)得，△BDC≌△EDC，
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10-6=4．
設(shè)AD=x，則BD=CD=8-x，
由勾股定理，得x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3．
∴AD=3．
∴點(diǎn)D（-3，10）
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)O（0，0），
∴c=0．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)D（-3，10），C（-8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b=10}\\{64a-8b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x．

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得，AD=3，AE=4，DE=5，
∵CQ=t，EP=2t，
∴PC=10-2t，
①當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°時(shí)，△ADE∽△QPC，
∴$\frac{CQ}{EA}$=$\frac{CP}{ED}$，即 $\frac{t}{4}$=$\frac{10-2t}{5}$，
解得t=$\frac{40}{13}$；
②當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°時(shí)，△ADE∽△PQC，
∴$\frac{PC}{AE}$=$\frac{CQ}{ED}$，即 $\frac{10-2t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得t=$\frac{25}{7}$，
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{40}{13}$或 $\frac{25}{7}$時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：折疊的性質(zhì)疊種對稱變換，屬于對稱，折疊前后圖形的形和小不變，位變化，對邊和對應(yīng)角相等．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．