Question

（2012•濱海縣二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3

3

，點P是邊BC上的動點（點P不與點B、點C重合），過點P作直線PQ∥BD，交CD邊于Q點，再把△PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應點是R點，設CP的長度為x，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y．
（1）求∠CQP的度數(shù)；
（2）當x取何值時，點R落在矩形ABCD的邊AB上？
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由于PQ與BD平行，∠CQP=∠CDB，因此只需求出∠CDB的度數(shù)即可．可在直角三角形ABD中，根據(jù)AB，AD的長求出∠ABD的度數(shù)，由∠CQP=∠CDB=∠ABD即可得出∠CQP的度數(shù)；
（2）當R在AB上時，三角形PBR為直角三角形，且∠BPR=60°（可由（1）的結(jié)論得出），根據(jù)折疊的性質(zhì)PR=CP=x，然后用x表示出BP的長，在直角三角形可根據(jù)∠RPB的余弦值得出關(guān)于x的方程即可求出x的值；
（3）要分兩種情況進行討論：
①當R在AB或矩形ABCD的內(nèi)部時，重合部分是三角形PQR，那么重合部分的面積可通過求三角形CQP的面積來得出，在直角三角形CQP中，已知了∠CQP的度數(shù)，可用CP即x的值表示出CQ的長，然后根據(jù)三角形的面積計算公式可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式；
②當R在矩形ABCD的外部時，重合部分是個四邊形的面積，如果設RQ，RP與AB的交點分別為E、F，那么重合部分就是四邊形EFPQ，它的面積=△CQR的面積-△REF的面積．△CQR的面積在一已經(jīng)得出，關(guān)鍵是求△REF的面積，首先要求出的是兩條直角邊RE，RF的表達式，可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的長，即可通過RP-PF得出RF的長；在直角三角形REF中，∠RFE=∠PFB=30°，可用其正切值表示出RE的長，然后可通過三角形的面積計算公式得出三角形REF的面積．進而得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC．
又∵AB=9，AD=3

3

，∠C=90°，
∴CD=9，BC=3

3

．
∴tan∠CDB=

BC

CD

=

3

3

，
∴∠CDB=30°．
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CDB=30°；

（2）如備用圖1，由軸對稱的性質(zhì)可知，△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP．
由（1）知∠CQP=30°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°，
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP．
∵CP=x，
∴PR=x，PB=3

3

-x．
在△RPB中，根據(jù)題意得：2（3

3

-x）=x，
解這個方程得：x=2

3

；

（3）①當點R在矩形ABCD的內(nèi)部或AB邊上時，
0＜x≤2

3

，S△CPQ=

1

2

×CP×CQ=

1

2

x•

3

x=

3

2

x2，
∵△RPQ≌△CPQ，
∴當0＜x≤2

3

時，y=

3

2

x2
②當R在矩形ABCD的外部時（如備用圖2），2

3

＜x＜3

3

，
在Rt△PFB中，
∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（3

3

-x），
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-6

3

，
在Rt△ERF中，
∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=

3

x-6．
∴S_△ERF=

1

2

ER×FR=

3 3

2

x²-18x+18

3

，
∵y=S_△RPQ-S_△ERF，
∴當2

3

＜x＜3

3

時，y=-

3

x²+18x-18

3

．
綜上所述，y與x之間的函數(shù)解析式是：
y=

y= 3 2 x2(0＜x≤2 3 ) y=- 3 x2+18x-18 3 (2 3 ＜x＜3 3 )

．

點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)和二次函數(shù)的綜合應用，要注意的是（3）中要根據(jù)R點的不同位置進行分類討論，不要漏解．