Question

【題目】如圖，已知一個(gè)直角三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn)，連接EF．

（1）圖①，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且使S四邊形ECBF=3S△EDF ， 求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖②，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且使MF∥CA．
①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論；
②求EF的長(zhǎng)；
（3）如圖③，若FE的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N，CN=1，CE= ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，

∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

∴S△AEF≌S△DEF，

∵S四邊形ECBF=3S△EDF，

∴S△ABC=4S△AEF，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB= =5，

∵∠EAF=∠BAC，

∴Rt△AEF∽R(shí)t△ABC，

∴ =（ ）2，即（ ）2= ，

∴AE= ；

（2）

解：①四邊形AEMF為菱形．理由如下：

如圖②，∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，

∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，

∵M(jìn)F∥AC，

∴∠AEF=∠MFE，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

∴AE=EM=MF=AF，

∴四邊形AEMF為菱形；

②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O，如圖②，

設(shè)AE=x，則EM=x，CE=4﹣x，

∵四邊形AEMF為菱形，

∴EM∥AB，

∴△CME∽△CBA，

∴ ，即 = = ，解得x= ，CM= ，

在Rt△ACM中，AM= = = ，

∵S菱形AEMF= EFAM=AECM，

∴EF=2× = ；

（3）

解：如圖③，

作FH⊥BC于H，

∵EC∥FH，

∴△NCE∽△NFH，

∴CN：NH=CE：FH，即1：NH= ：FH，

∴FH：NH=4：7，

設(shè)FH=4x，NH=7x，則CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，

∵FH∥AC，

∴△BFH∽△BAC，

∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x= ，

∴FH=4x= ，BH=4﹣7x= ，

在Rt△BFH中，BF= =2，

∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，

∴ = ．

【解析】本題考查了三角形的綜合題：熟練掌握折疊的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)；靈活構(gòu)建相似三角形，運(yùn)用勾股定理或相似比表示線(xiàn)段之間的關(guān)系和計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)．解決此類(lèi)題目時(shí)要各個(gè)擊破．（1）先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，則S△AEF≌S△DEF ， 則易得S△ABC=4S△AEF ， 再證明Rt△AEF∽R(shí)t△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 =（ ）2 ， 再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長(zhǎng)；（2）①通過(guò)證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形；②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O，如圖②，設(shè)AE=x，則EM=x，CE=4﹣x，先證明△CME∽△CBA得到 = = ，解出x后計(jì)算出CM= ，再利用勾股定理計(jì)算出AM，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算EF；（3）如圖③，作FH⊥BC于H，先證明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，設(shè)FH=4x，NH=7x，則CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再證明△BFH∽△BAC，利用相似比可計(jì)算出x= ，則可計(jì)算出FH和BH，接著利用勾股定理計(jì)算出BF，從而得到AF的長(zhǎng)，于是可計(jì)算出 的值．