Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于點(diǎn)A，AC=2，BD⊥AB于點(diǎn)B，BD=6，以AB為直徑的半圓O上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、B兩點(diǎn)重合），連接PD、PC，我們把由五條線段AB、BD、DP、PC、CA所組成的封閉圖形ABDPC叫做點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形，如圖1所示.

（1）如圖2，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到半圓O與y軸的交點(diǎn)位置時(shí)，求點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積.

（2）如圖3，連接CD、OC、OD,判斷△OCD的形狀，并加以證明.

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，簡要說明理由，并求面積的最大值.

 

 

Answer 1

（1）12；（2）判斷△OCD是直角三角形，證明見解析；（3）連接OC，交半圓O于點(diǎn)P，這時(shí)點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，理由風(fēng)解析，.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到半圓O與y軸的交點(diǎn)位置時(shí)，點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形是正方形AOPC+梯形OPDB，據(jù)此求解.

（2）證明OC⊥CD，作出判斷.

（3）連接CD，因?yàn)樘菪蜛CDB的面積為定值，故要使點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，則連接OC交半圓O于點(diǎn)P，應(yīng)用三角形三邊關(guān)系可證明點(diǎn)P為所確定的點(diǎn)的位置，從而由點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積-△PCD的面積求得點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的最大面積.

試題解析：（1）∵A(-2，0)，∴OA=2,

∵P是半圓O上的動(dòng)點(diǎn)，P在y軸上，

∴OP=2, ∠AOP=90°.

∵AC=2，∴四邊形AOPC是正方形．∴正方形的面積是4.

又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面積= ,

∴點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積是12.

（2）判斷△OCD是直角三角形，證明如下：

如圖，延長CP交BD于點(diǎn)F.則四邊形ACFB為矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，四邊形AOPC是正方形，

∴∠OCP=45°.

∴∠OCD=90°．∴OC⊥CD.

∴△OCD是直角三角形.

（3）連接OC交半圓O于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所確定的點(diǎn)的位置，理由如下：

如圖，連接CD，梯形ACDB的面積=為定值，

要使點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，

∵CD為定長，∴P到CD的距離就要最小.

連接OC，設(shè)交半圓O于點(diǎn)P，

∵AC⊥OA，AC=OA, ∴∠AOC=45°.

過C作CF⊥BD于F，則ACFB為矩形，∴CF=DF=4, ∠DCF=45°．∴OC⊥CD,OC=2.

∴PC在半圓外.

設(shè)在半圓O上的任意一點(diǎn)P′到CD的距離為P′H，

則P′H+P′O>OH>OC.

∵OC=PC+OP, ∴P′H> PC,.

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到半圓O與OC的交點(diǎn)位置時(shí)，點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大.

∵CD=4,CP=2-2, ∴△PCD的面積=.

又∵梯形ACDB的面積=，

∴點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積-△PCD的面積=.

考點(diǎn)：1.新定義和閱讀理解型問題；2．動(dòng)點(diǎn)問題；3.正方形、矩形的判定和性質(zhì)；4．直角三角形的判定；5.三角形三邊關(guān)系；6.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.