Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣x﹣3交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C

（1）求直線AC的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作PD⊥x軸交AC于點(diǎn)D，求PD的最大值；

（3）將△BOC沿直線BC平移，點(diǎn)B平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，點(diǎn)O平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)O′，點(diǎn)C平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，點(diǎn)S是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以A，C，O′，S為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求出所有符合條件的點(diǎn)S的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（，）或（）或（）或（）

【解析】

（1），令y=0，則x=-1或-6，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（-6，0）、（-1，0）、（0，-3），然后用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)D（x，），則PD=-（）=，然后配方法分析其最值，即可求解；（3）分AC是菱形的邊、AC是對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，

解得：x=-1或-6，

當(dāng)x=0時(shí)，y=-3

∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（-6，0）、（-1，0）、（0，-3），

設(shè)直線AC的表達(dá)式為：

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得：

解得：

∴直線AC的解析式為：

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)D（x，）

則PD=-（）=

∵＜0，故PD有最大值為

（3）設(shè)直線BC的表達(dá)式為：

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：

解得：

∴直線BC的解析式為：

①如圖3或4中，當(dāng)四邊形ACSO'是菱形時(shí)，設(shè)AS交CO′于K，AC=AO′=3，

點(diǎn)O平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)O′，平移直線的k為，

則設(shè)點(diǎn)O向左平移m個(gè)單位，則向上平移3m個(gè)單位，則點(diǎn)O′（-m，3m），設(shè)點(diǎn)S（a，b），

∴（m+6）2+（-3m）2=（3）2，
解得m=，

∴O′（，）或（，）

由中點(diǎn)公式可得：K（，）或（，），

∵AK=KS，

∴S（，）或（，）

②如圖5或6中，當(dāng)四邊形ACO'S是菱形時(shí)，設(shè)CS交AO′于K，AC=CO′=3，

∵點(diǎn)O平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)O′，平移直線的k為，C（0，-3），設(shè)O′（m，-3m），

∴m2+（-3m+3）2=（3）2，

解得m=，

∴O′（）或（），

由中點(diǎn)公式可得：K（）或（），

∵CK=KS，

∴S（）或（）

③如圖7中，當(dāng)四邊形ASCO′是菱形時(shí)，SO垂直平分線段AC，

直線SO′的解析式為

由 ，

解得 ，

∴O′（）

∵KS=KO′，

∴S（）

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)S坐標(biāo)為（，）或（，）或（）或（）或（）