Question

由山腳下的一點A測得山頂D的仰角是45°，從A沿傾斜角為30°的山坡前進1500米到B，再次測得山頂D的仰角為60°．
（1）求線段BD的長；
（2）求山高．（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）首先設BF=x米，過點B作BE⊥AC于E，作BF⊥CD于F，可得四邊形BFCE是矩形，然后再在Rt△ABE中，求得AE與BE的長，則可用x表示出AC與CD的長，又由AC=CD，可得方程：750

3

+x=

3

x+750，解此方程即可求得答案；
（2）由（1）可知CF與DF的長，則可求得山高．

解答：解：（1）設BF=x米，
過點B作BE⊥AC于E，作BF⊥CD于F，
∴四邊形BFCE是矩形，
∴BF=EC，CF=BE，
由題意得：∠DAC=45°，∠BAE=30°，∠DBF=60°，AB=1500米，
在Rt△ABE中，BE=

1

2

AB=750（米），AE=AB•cos∠BAE=1500×

3

2

=750

3

（米），
∴CF=BE=750米，
∵∠DAC=45°，DC⊥AC，
∴AC=CD，
在Rt△BDF中，BD=

BF

cos∠DBF

=2x（米），DF=BF•tan∠DBF=

3

x（米），
∴750

3

+x=

3

x+750，
∴x=750，
∴BF=750米，
∴BD=1500米；

（2）∵DF=

3

x=750

3

（米），CF=750米，
∴CD=DF+CF=750

3

+750（米）．
∴山高為（750

3

+750）米．

點評：本題考查仰角的定義．難度適中，注意能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵，注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用．