Question

18．如圖，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AC上不與A、C重合的一動(dòng)點(diǎn)，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R．
（1）求證：PQ=CQ；
（2）設(shè)CP的長(zhǎng)為x，QR的長(zhǎng)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并在平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象．
（3）PR能否平行于BC？如果能，試求出x的值；若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

分析 （1）易得△ABC為等腰直角三角形，則∠B=∠C=45°，然后利用PQ⊥CQ可得到△PCQ為等腰直角三角形，所以PQ=CQ；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，CQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，同理可證得為△BQR等腰直角三角形，則BQ=$\sqrt{2}$RQ=$\sqrt{2}$y，所以$\sqrt{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1，變形得到y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（0＜x＜1），然后描點(diǎn)畫函數(shù)圖象；
（3）由于AR=1-y，AP=1-x，則AR=1-（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），當(dāng)AR=AP時(shí)，PR∥BC，所以1-（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1-x，解得x=$\sqrt{2}$，然后利用0＜x＜1可判斷x=$\sqrt{2}$舍去，所以PR不能平行于BC．

解答 （1）證明：∵∠A=90°，AB=AC=1，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∵PQ⊥CQ，
∴△PCQ為等腰直角三角形，
∴PQ=CQ；
（2）解：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∵△PCQ為等腰直角三角形，
∴CQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
同理可證得為△BQR等腰直角三角形，
∴BQ=$\sqrt{2}$RQ=$\sqrt{2}$y，
∵BQ+CQ=BC，
∴$\sqrt{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（0＜x＜1），
如圖，

（3）解：不能．理由如下：
∵AR=1-y，AP=1-x，
∴AR=1-（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
當(dāng)AR=AP時(shí)，PR∥BC，
即1-（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1-x，
解得x=$\sqrt{2}$，
∵0＜x＜1，
∴x=$\sqrt{2}$舍去，
∴PR不能平行于BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過(guò)看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，還可以提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．解決本題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)．