Question

【題目】已知：如圖，直線y=﹣x+3與x軸、y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)O′，且點(diǎn)O′恰好在反比例函數(shù)y=的圖象上．

（1）求點(diǎn)A與B的坐標(biāo)；

（2）求k的值；

（3）若y軸正半軸有點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線，且與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)Q，設(shè)A、P、Q、O′四個(gè)點(diǎn)所圍成的四邊形的面積為S．若S=S△OAB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（3，0），B（0，3）；（2）k的值為9；（3）P（0，2）或（0，6）

【解析】

（1）設(shè)A（a，0）；B（0，b）代入即可求出a、b的值.進(jìn)而求出A、B坐標(biāo).（2）如圖① ，根據(jù)點(diǎn)O與O′關(guān)于直線AB對(duì)稱，可知四邊形OAO′B為正方形即可得答案.（3）設(shè)P（0，m），分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的上方時(shí)，即：m＞3，延長(zhǎng)AO′于PQ相交于點(diǎn)M，設(shè)P（0，m），由面積關(guān)系可求；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的下方時(shí)，即：0＜m＜3，方法同上．

（1）設(shè)A（a，0）；B（0，b），代入y=﹣x+3得：a=3，b=3，

所以A（3，0）；B（0，3）.

（2）如圖①

圖①

∵點(diǎn)O與O′關(guān)于直線AB對(duì)稱，

∴由題意可得四邊形OAO′B為正方形，

∴O′（3，3）

則 k=3×3=9

即：k的值為9

（3）設(shè)P（0，m），顯然，點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的上方時(shí)，即：m＞3，

延長(zhǎng)AO′于PQ相交于點(diǎn)M，如圖②所示：

則：Q（，m），M（3，m）

∴PM=3，AM=m，MO′=m﹣3，QM=3﹣，

∴S=S△PMA﹣S△QMO′==×=

∴﹣（3﹣m）（m+3）=，

解之得：m=6

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的下方時(shí)，即：0＜m＜3，如圖③所示：

顯然，PQ⊥AO′，

∴S=PQAO′=×3×=，

∴m=2

∴P（0，2）或（0，6）.