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          精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          
			
          
				平面上有n個點（n≥3，n為自然數），其中任何三點不在同一直線上．證明：一定存在三點，以這三點作為頂點的三角形中至少有一個內角不大于
          180°n
          ．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：題目中的n個點中不妨設這兩個點為A1、A2，則可以分當∠A2A1An≥180°-
          2×180°
          n
          和當∠A2A1An＜180°-
          2×180°
          n
          兩種情況進行討論．根據三角形的內角和定理就可以證出．
          解答：精英家教網解：如圖，在這n個點中，必存在這樣的兩點，使其它各點均在這兩點所在直線同側，設這兩個點為A1、A2，其它各點按逆時針方向設為A3、A4、An．

          （1）當∠A2A1An≥180°-
          2×180°
          n
          時，連接A2An．
          在△A1A2An中，∠A2A1An+∠A1AnA2=180-∠A2A1An≤
          2×180°
          n

          則∠A2A1An、∠A1AnA2中必有一個角不大于
          180°
          n
          ；

          （2）當∠A2A1An＜180°-
          2×180°
          n
          時，∠A2A1A3+∠A3A1A4+∠A4A1A5+…+∠An-1A1An＜180°-
          2×180°
          n
          ，
          則在這n-2個角中，必有一個角不大于
          180°
          n

          設∠AiA1Ai-1≤
          180°
          n
          ，則△AiA1Ai-1即為所求三角形．
          點評：本題的難度較大，分情況討論是解題的關鍵．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：初中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          18、平面上有5個點，其中任意三點都不在同一條直線上，則這些點共可組成
          10
          個不同的三角形．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數學
				來源：
				題型：閱讀理解
			
          

						
          閱讀下列材料并填空．
          平面上有n個點（n≥2）且任意三個點不在同一條直線上，過其中的每兩點畫直線，一共能作出多少條不同的直線？
          ①分析：當僅有兩個點時，可連成1條直線；當有3個點時，可連成3條直線；當有4個點時，可連成6條直線；當有5個點時，可連成10條直線…
          ②歸納：考察點的個數和可連成直線的條數Sn發(fā)現(xiàn)：如下表
          

          


          
點的個數
可作出直線條數
          

          
2
1=S2=
          2×1
          2
          

          
3
3=S3=
          3×2
          2
          

          
4
6=S4=
          4×3
          2
          

          
5
10=S5=
          5×4
          2
          

          
…
…
          

          
n
Sn=
          n(n-1)
          2
          ③推理：平面上有n個點，兩點確定一條直線．取第一個點A有n種取法，取第二個點B有（n-1）種取法，所以一共可連成n（n-1）條直線，但AB與BA是同一條直線，故應除以2；即Sn=
          n(n-1)
          2
          ④結論：Sn=
          n(n-1)
          2
          試探究以下幾個問題：平面上有n個點（n≥3），任意三個點不在同一條直線上，過任意三個點作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
          （1）分析：
          當僅有3個點時，可作出
           
          個三角形；
          當僅有4個點時，可作出
           
          個三角形；
          當僅有5個點時，可作出
           
          個三角形；
          …
          （2）歸納：考察點的個數n和可作出的三角形的個數Sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）
          

          


          
點的個數
可連成三角形個數
          

          
3

          

          
4

          

          
5

          

          
…

          

          
n

          （3）推理：
          （4）結論：
          

			
          

			
          
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				科目：初中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          有下列4個命題中，真命題的序號是（　　）
          ①平面上有5個點（沒有任何三個點在同一直線上），可以確定10條直線．
          ②若直角三角形的兩條邊長恰為方程x2-7x+12=0的兩根，那么它的面積一定是6．
          ③點P（x，y）的坐標x，y滿足x2+y2+2x-2y+2=0，則點P在正比例函數y=-x的圖象上．
          ④若實數b、c滿足1+b+c＞0，1-b+c＜0，則關于x的方程x2+bx+c=0一定有一個實數根x0滿足-1＜x0＜1．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數學
				來源：
				題型：閱讀理解
			
          

						
          閱讀以下材料并填空：平面上有n個點（n≥2）且任意三個點不在同一直線上，過這些點作直線一共能作出多少條不同的直線？
          分析：當僅有兩個點時，可連成1條直線；當有3個點時，可連成3條直線；當有4個點時，可連成6條直線，當有5個點時可連成10條直線…
          推導：平面上有n個點，因為兩點可確定一條直線，所以每個點都可與除本身之外的其余（n-1）個點確定一條直線，即共有
          n（n-1）條直線．但因AB與BA是同一條直線，故每一條直線都數了2遍，所以直線的實際總條數為
          n(n-1)
          2
          ．
          試結合以上信息，探究以下問題：
          平面上有n（n≥3）個點，任意3個點不在同一直線上，過任意3點作三角形，一共能作出多少個不同的三角形？
          分析：考察點的個數n和可作出的三角形的個數 sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）
          

          


          
點的個數
可連成的三角形的個數
          

          
3

          1
          1
          

          
4

          4
          4
          

          
5

          10
          10
          

          
…
…
          

          
n

          n(n-1)(n-2)
          6
          n(n-1)(n-2)
          6
          推導：
          平面上有n個點，過不在同一直線上的三點可以確定1個三角形，取第一個點A有n種取法，取第二個點B有（n-1）種取法．取第三個點C有（n-2）種取法，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個三角形，故應除以6，即Sn=
          n(n-1)(n-2)
          6
          ．
          平面上有n個點，過不在同一直線上的三點可以確定1個三角形，取第一個點A有n種取法，取第二個點B有（n-1）種取法．取第三個點C有（n-2）種取法，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個三角形，故應除以6，即Sn=
          n(n-1)(n-2)
          6
          ．
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          平面上有4個點，其中任意三個點作成的三角形面積都小于1，試證明：存在一個面積小于4的三角形包含這4個點．
          

			
          

			
          
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