Question

（本題12分）已知：如圖1，點(diǎn)D是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC邊BC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)B向C方向運(yùn)動(dòng)，以AD為邊向右側(cè)作等邊△ADE。

（1）連接CE,若點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，易知線段CE 、CD、AC三者之間的關(guān)系為CE+CD=AC; 如圖2當(dāng)點(diǎn)D在C的右側(cè)時(shí)，試探索線段CE 、CD、AC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。

（2如圖1，當(dāng)點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，①直接寫出△CDE周長(zhǎng)的最小值。②直接寫出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)。

（3）若將題目中條件“等邊△ADE”改為“滿足∠ADE=60°與等邊△ABC的外角平分線交于點(diǎn)E”,那么CE與BD還相等嗎？如圖3請(qǐng)作出判斷并給出說(shuō)明。

圖1 圖2 圖3

Answer 1

（1） CD+AC=CE （2） ① 2+ ② 2 （3） CE=BD

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出△ABD≌△ACE，從而得證BD=CE，進(jìn)而根據(jù)等量代換得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知當(dāng)D點(diǎn)在BC的中點(diǎn)時(shí)，△CDE周長(zhǎng)的值最小，可求周長(zhǎng)，再根據(jù)（1）的結(jié)論和周長(zhǎng)求出E點(diǎn)的路徑；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可以證得△BFD是等邊三角形，進(jìn)而得出AF=CD，∠CDE=∠BAD，再根據(jù)∠AFD=∠DCE=120°得△AFD≌△DCE，因此得證結(jié)論.

試題解析：（1）【解析】
CD+AC=CE

理由：∵等邊△ABC和等邊△ADE

∴△ABD≌△ACE

∴BD=CE

又BD=BC+CD,AC=BC

∴CD+AC=CE

（2） ① 2+ ② 2

（3）【解析】
CE=BD

過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F

∵等邊△ABC

∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°

∴∠BFD=∠BAC=60°

∴△BFD是等邊三角形

∴BF=BD 又AB=AC

∴AF=CD

∵∠ADE=60°

∴∠ADB+∠CDE=120°

又∠B=60°

∴∠ADB+∠BAD=120°

∴∠CDE=∠BAD

又∠AFD=∠DCE=120°

∴△AFD≌△DCE（ASA）

∴CE=DF,又DF=BD

∴CE=BD

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)