Question

【題目】在△中，已知是邊的中點(diǎn)，是△的重心，過點(diǎn)的直線分別交、于點(diǎn)、.

（1）如圖1，當(dāng)∥時(shí)，求證：；

（2）如圖2，當(dāng)和不平行，且點(diǎn)、分別在線段、上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上或點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（1）中結(jié)論成立，理由見解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)G為重心可知，由EF∥BC可知,，故

（2）過點(diǎn)作∥交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，則，，故要求式子，又，D是的中點(diǎn)，即，故有，所以原式，又有，得，故結(jié)論成立；

（3）由G點(diǎn)為重心可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為中點(diǎn)，，故當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，,則，同理：當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，故結(jié)論不成立.

（1）證明： 是△重心

,

又∥,

,,

則.

（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：

如圖，過點(diǎn)作∥交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，

則，

又

而是的中點(diǎn)，即

又

結(jié)論成立；

（3）（1）中結(jié)論不成立，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為中點(diǎn)，,

點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，,

,則，

同理：當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，

結(jié)論不成立.