Question

已知a、b均為正數(shù)，且a+b=2，求W=

a2+4

+

b2+1

的最小值．

Answer 1

分析：將b=2-a代入W=

a2+4

+

b2+1

，得到W的關于a的表達式，再利用勾股定理，將表達式轉(zhuǎn)化為直角三角形兩斜邊AP、BP的和，利用勾股定理求和即可．

解答：解：得W=

a2+22

+

(2-a)2+12

，（5分）
構(gòu)造如下圖形，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，
P是ED上任意一點，點C是點A關于直線l的對稱點，
設PE=a，則W=

a2+22

+

(2-a)2+12

=AP+BP，（5分）
當B、P、C三點共線時，W的值最小，此時由勾股定理可求得

a2+4

+

b2+1

的最小值為

13

．（5分）

點評：此題考查了軸對稱---最短路徑問題，將表達式轉(zhuǎn)化為勾股定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的作用．