Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB=AD，對角線BD為⊙O的直徑，AC與BD交于點E．點F為CD延長線上，且DF=BC.

（1）證明：AC=AF；

（2）若AD=2，AF=，求AE的長；

（3）若EG∥CF交AF于點G，連接DG.證明：DG為⊙O的切線.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）AE的長為；

（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由圓的內接四邊形的性質得：∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，故∠ABC=∠ADF,結合已知條件可證△ABC≌△ADF，從而可得結論；

（2）由（1）得AC=AF，由AB=AB得，得∠ADE=∠ACD．可證△ADE∽△ACD，得，變換比例式從而得解；

（3）通過證明△ADG∽△AFD得∠ADG=∠F．再運用切線的判定定理即可得證.

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°．

∵∠ADF+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF．

在△ABC與△ADF中，

，

∴△ABC≌△ADF．

∴AC=AF；

（2）由（1）得，AC=AF=．

∵AB=AD，

∴

∴∠ADE=∠ACD．

∵∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD．

∴．

∴．

（3）證明：∵EG∥CF，∴ ．

∴AG=AE．

由（2）得，∴．

∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD．

∴∠ADG=∠F．

∵AC=AF，∴∠ACD=∠F．

又∵∠ACD=∠ABD，

∴∠ADG=∠ABD．

∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°．

∴∠ABD+∠BDA=90°．∴∠ADG+∠BDA=90°．

∴GD⊥BD．

∴DG為⊙O的切線.