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        1. 11、已知n是正整數(shù),且2n+1與3n+1都是完全平方數(shù).是否存在n,使得5n+3是質(zhì)數(shù)?如果存在,請求出所有n的值;如果不存在,請說明理由.
          分析:設2n+1=k2,3n+1=m2,則5n+3轉(zhuǎn)化為關(guān)于k、m的代數(shù)式的積,根據(jù)式子特點,得到5n+3是合數(shù).
          解答:解:如果2n+1=k2,3n+1=m2,
          則5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4k2-m2=(2k+m)(2k-m).
          因為5n+3>(3n+1)+2=m2+2>2m+1,
          所以2k-m≠1(否則5n+3=2k+m=2m+1).
          從而5n+3=(2k+m)(2k-m)是合數(shù).
          點評:本題考查了完全平方數(shù)的應用,考查了因式分解法求值的應用,考查了分類討論思想,本題中討論2k-m與2k+m的值是解題的關(guān)鍵.
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