Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，已知AB=6，BC=9， ．對角線AC、BD交于點(diǎn)O．動點(diǎn)P在邊AB上，⊙P經(jīng)過點(diǎn)B，交線段PA于點(diǎn)E．設(shè)BP= x．

（1）求AC的長；

（2）設(shè)⊙O的半徑為y，當(dāng)⊙P與⊙O外切時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）如果AC是⊙O的直徑，⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，求⊙O與⊙P的圓心距OP的長．

Answer 1

【答案】（1）9；（2），定義域：0＜x≤3；（3）或

【解析】試題分析：（1）作AH⊥BC于H，根據(jù)已知條件和銳角三角函數(shù)的定義即可求得BH=2，根據(jù)勾股定理求得AH的長，在分局勾股定理求得AC的長即可；(2) 作OI⊥AB于I，聯(lián)結(jié)PO，可得AO=4.5，Rt△AIO中，求得AI=1.5，IO= 3，即可得PI=-x，在Rt△PIO中，根據(jù)勾股定理求得 ，又因⊙P與⊙O外切，可得 ，所以-x，因為動點(diǎn)P在邊AB上，⊙P經(jīng)過點(diǎn)B，交線段PA于點(diǎn)E，即可得定義域為0＜x≤3；（3）分①當(dāng)E與點(diǎn)A不重合時和②當(dāng)E與點(diǎn)A重合時兩種情況求AP的長即可.

試題解析：

（1）作AH⊥BC于H，且，AB=6，

那么

BC=9，HC=9-2=7，，﹒

（2）作OI⊥AB于I，聯(lián)結(jié)PO，AC=BC=9，AO=4.5，

∴∠OAB=∠ABC，

∴Rt△AIO中，，

∴AI=1.5，IO= ，

∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5= ，

∴Rt△PIO中，，

∵⊙P與⊙O外切，∴，

∴= ，

∵動點(diǎn)P在邊AB上，⊙P經(jīng)過點(diǎn)B，交線段PA于點(diǎn)E．∴定義域：0＜x≤3；

（3）由題意得：∵點(diǎn)E在線段AP上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，∴⊙O與⊙P相交

∵AO是⊙O半徑，且AO＞OI，∴交點(diǎn)E存在兩種不同的位置，OE=OA=

①當(dāng)E與點(diǎn)A不重合時，AE是⊙O的弦，OI是弦心距．∵AI=1.5，AE=3，∴點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，，，，IO=

，

②當(dāng)E與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，，

∴或．