Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，-4），線段OB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與x軸的正半軸重合，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過A，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BC+OC的值最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）如果點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的上方，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PAB的最大面積．

Answer 1

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)（5，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
∴

-4=a(-3)2+b(-3) 0=25a+5b

，
∴a=-

1

6

，b=

5

6

，
∴y=-

1

6

x2+

5

6

x；

（2）由于A、O關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接AB，
則AB與拋物線對稱軸的交點(diǎn)即為所求的C點(diǎn)；
易求得直線AB的解析式為：y=

1

2

x-

5

2

，
拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

=

5

2

，
當(dāng)x=

5

2

時(shí)，y=

1

2

×

5

2

-

5

2

=-

5

4

；
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

5

2

，-

5

4

）；

（3）過P作直線PM∥y軸，交AB于M，
設(shè)P（x，-

1

6

x²+

5

6

x），則M（x，

1

2

x-

5

2

），
∴PM=-

1

6

x²+

5

6

x-（

1

2

x-

5

2

）=-

1

6

x²+

1

3

x+

5

2

，
∴△PAB的面積：S=S_△PAM+S_△PBM
=

1

2

PM•（5-

5

2

）+

1

2

PM•（

5

2

+3）
=

1

2

×（-

1

6

x²+

1

3

x+

5

2

）×（5+3）
=-

2

3

x²+

4

3

x+10
=-

2

3

（x-1）²+

32

3

，
所以當(dāng)x=1，即P（1，

2

3

）時(shí)，△PAB的面積最大，且最大值為

32

3

．