Question

已知拋物線y=-

1

2

x2+mx+n與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，若A，B兩點(diǎn)位于y軸異側(cè)，且tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，求拋物線的解析式．

Answer 1

∵圖象與x軸有交點(diǎn)，∴令y=0，
∵圖象與y軸有交點(diǎn)，∴令x=0，
∴y=n 即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），
∵tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，
∴

OC

AO

=

OB

OC

=

1

3

，
∵∠ACB=90°，CO⊥x軸，
∴OC²=AO•OB，
∵A、B兩點(diǎn)在y軸異側(cè)，
∴OA=3n，OB=

1

3

n，
即n²=n，∵n≠0，∴n=1，∴OC=1，
∴AO=3，B0=

1

3

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
同理解得B點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

3

，0），
設(shè)y=a（x+3）（x-

1

3

）
且它過(guò)點(diǎn)C（0，1），
代入后解得：a=-1，
所以：y=-x²-

8

3

x-1．
答：拋物線的解析式為：y=-x²-

8

3

x-1．