Question

已知：如圖，BC為半圓的直徑，O為圓心，D是弧AC的中點(diǎn)，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）已知BC=

5

2

，CD=

5

2

，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的條件下，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）在△ABE與△DBC中，有∠ABE=∠DBC，∠BAE=∠BDC=90°，根據(jù)相似三角形的判定，它們相似；
（2）由△ABE∽△DBC，可知∠AEB=∠DCB，在Rt△DCB中，先由勾股定理求出BD的值，再根據(jù)正弦的定義求出sin∠DCB，得出sin∠AEB的值；
（3）求弦AB的長(zhǎng)，sin∠AEB的值已求，求出BE的值即可，可以通過(guò)求BD、ED得出．

解答：（1）證明：∵BC為半圓的直徑，
∴∠BAE=∠BDC=90°．
∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴∠ABE=∠DBC．
∴△ABE∽△DBC．

（2）解：在RT△DCB中，
∵∠BDC=90°，BC=

5

2

，CD=

5

2

，
∴BD=

5

．
∴sin∠DCB=BD：BC=

2 5

5

．
∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB．
∴sin∠AEB=

2 5

5

．

（3）解：∵∠AEB=∠DEC，
∴sin∠DEC=

2 5

5

．
∴EC=1.25，DE=

5

4

，BD=

5

．
BE=BD-DE=

3 5

4

，AB=

3 5

4

×sin∠AEB=1.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判斷，同弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角為直角及解三角函數(shù)的知識(shí)，本題是一道較難的題目．