Question

（2013•封開縣一模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，直角頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，A（0，2），B（-1，0）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（3）設(shè)點(diǎn)P（m，n）是拋物線在第一象限部分上的點(diǎn)，△PAC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求使S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，得到三角形AOB與三角形AOC相似，由相似得比例，求出OC的長(zhǎng)，即可確定出C坐標(biāo)；
（2）由B與C坐標(biāo)設(shè)出拋物線的二根式，將A坐標(biāo)代入求出a的值，確定出拋物線解析式，求出對(duì)稱軸即可；
（3）連接AP，CP，過(guò)P作PQ垂直于x軸，將x=m代入拋物線解析式表示出P的縱坐標(biāo)，即為PQ的長(zhǎng)，三角形APC面積=梯形APQO面積+三角形PQC面積-三角形AOC面積，列出S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大時(shí)m的值，即可確定出此時(shí)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠ACB=90°，
∴∠BAO=∠ACB，
又∵∠AOB=∠COA=90°，
∴△ABO∽△CAO，
∴

OA

OC

=

OB

OA

，即OA²=OB•OC，
∵A（0，2），B（-1，0），即OA=2，OB=1，
∴OC=4，
則C（4，0）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
將A（0，2）代入得：2=-4a，即a=-

1

2

，
則過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，對(duì)稱軸為直線x=

3

2

；

（3）連接AP，CP，過(guò)P作PQ⊥x軸，交x軸于點(diǎn)Q，
將x=m代入拋物線解析式得：n=-

1

2

m²+

3

2

m+2，
∵OA=2，OC=4，OQ=m，PQ=-

1

2

m²+

3

2

m+4，QC=4-m，
∴S=S_△APC=S_梯形APQO+S_△PQC-S_△AOC=

1

2

×m×（2-

1

2

m²+

3

2

m+4）+

1

2

×（4-m）×（-

1

2

m²+

3

2

m+4）-

1

2

×2×4=-m²+4m+4=-（m-2）²+8，
∵S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式中二次項(xiàng)系數(shù)為-1＜0，即拋物線開口向下，
∴當(dāng)m=2時(shí)，S最大值為8，此時(shí)P（2，3）．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定拋物線解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．