Question

已知：如圖，拋物線y=

1

2

x2-3x+c交x軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，過A、B、C三點(diǎn)作⊙D．若⊙D與y軸相切．
（1）求c的值；
（2）連接AC、BC，設(shè)∠ACB=α，求tanα；
（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P，判斷直線PA與⊙D的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性可知：圓心D必在拋物線的對(duì)稱軸上，因此D的橫坐標(biāo)與拋物線的對(duì)稱軸的值相同，可根據(jù)拋物線的解析式求出對(duì)稱軸的值即可得出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于圓D和y軸相切，因此D的橫坐標(biāo)就是圓的半徑．先根據(jù)拋物線的解析式，用c表示出A、B的坐標(biāo)，即可表示AB的長(zhǎng)，然后在直角三角形AED中，AE=

1

2

AB，DE=OC=c，已經(jīng)求得了圓的半徑根據(jù)勾股定理即可得出c的值，進(jìn)而可求出拋物線的解析式．
（2）由于∠ACB不在直角三角形中，因此無法直接求出其正切值，可通過構(gòu)建直角三角形來求解．延長(zhǎng)AD交圓與F，連接BF，那么∠ABF=90°，根據(jù)圓周角定理可知：∠F=∠ACB=α，因此在直角三角形ABF中，求∠F的正切值即可．
（3）連接PA，證∠PAD是否等于90°即可，根據(jù)拋物線的解析式可得出A、B、P的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求出DA²、AP²、DP²的長(zhǎng)，看DA²+AP²是否與DP²相等即可．

解答：解：（1）連接DC，作AB的垂直平分線MN，交AB于E，連接DA．
∵⊙D經(jīng)過點(diǎn)C且與y軸相切
∴⊙D與y軸相切于點(diǎn)C
∴DC⊥y軸
∵⊙D和拋物線都經(jīng)過點(diǎn)A、B
∴MN經(jīng)過點(diǎn)D、P
∴MN是拋物線的對(duì)稱軸
由y=

1

2

x²-3x+c知：
對(duì)稱軸是x=3；令x=0得y=c．
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，c），點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，c），
⊙D的半徑為3
由y=

1

2

x²-3x+c知，
令y=0得

1

2

x²-3x+c=0
解得：x₁=3+

9-2c

，x₂=3-

9-2c

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3-

9-2c

，0），
點(diǎn)B坐標(biāo)為（3+

9-2c

，0）
∴AE=

1

2

（OB-OA）=

1

2

[（3+

9-2c

）-（3-

9-2c

）]=

9-2c

在Rt△ADE中，AE²+DE²=DA²，即：（

9-2c

）²+c²=9
∴c²-2c=0解得：c=0（不符題意舍）或c=2．
∴c=2．

（2）延長(zhǎng)AD交圓于點(diǎn)F，連接BF．
∵AF是⊙D的直徑
∴∠ABF=90°
∵在Rt△ABF中，AB=2AE=2

5

，AF=6，
∴BF=

AF2-AB2

=

36-20

=4．
∴tan∠F=

AB

BF

=

2 5

4

=

5

2

．
∵∠ACB與∠F都是弧AB所對(duì)的圓周角，
∴∠ACB=∠F．
∴tan∠ACB=tan∠F=tanα=

5

2

．

（3）判斷：直線PA與⊙D相切．
連接PA．
由（1）知c=2，于是D（3，2），AE=

9-2c

=

5

易知：頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，-

5

2

）
在Rt△ADE中，PA²=AE²+PE²=5+

25

4

=

45

4

又：PD²=（DE+EP）²=（2+

5

2

）²=

81

4

；DA²=3²=9
因?yàn)?+

45

4

=

81

4

所以，在△DAP中，DA²+PA²=PD²
所以，△DAP為直角三角形，∠DAP=90°，點(diǎn)A在圓上
所以，PA與⊙D相切．

點(diǎn)評(píng)：本題為二次函數(shù)綜合題，綜合考查了圓的相關(guān)知識(shí)和二次函數(shù)的應(yīng)用．難度較大．