Question

【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形G，給出如下定義：將點(diǎn)P沿向右或向上的方向平移一次，平移距離為d（d＞0）個(gè)長度單位，平移后的點(diǎn)記為P′，若點(diǎn)P′在圖形G上，則稱點(diǎn)P為圖形G的“達(dá)成點(diǎn)”．特別地，當(dāng)點(diǎn)P在圖形G上時(shí)，點(diǎn)P是圖形G的“達(dá)成點(diǎn)”．例如，點(diǎn)P（﹣1，0）是直線y＝x的“達(dá)成點(diǎn)”．

已知⊙O的半徑為1，直線l：y＝﹣x+b．

（1）當(dāng)b＝﹣3時(shí)，

①在O（0，0），A（﹣4，1），B（﹣4，﹣1）三點(diǎn)中，是直線l的“達(dá)成點(diǎn)”的是：_____；

②若直線l上的點(diǎn)M（m，n）是⊙O的“達(dá)成點(diǎn)”，求m的取值范圍；

（2）點(diǎn)P在直線l上，且點(diǎn)P是⊙O的“達(dá)成點(diǎn)”．若所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成一條長度不為0的線段，請直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①A，B；②﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；（2）﹣2≤b＜．

【解析】

（1）①根據(jù)“達(dá)成點(diǎn)”的定義即可解決問題．

②過點(diǎn)（0，1）和點(diǎn)（0，﹣1）作x軸的平行線分別交直線l于M1，M2，過點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（﹣1，0）作y軸的平行線分別交直線l于M3，M4，由此即可判斷．

（2）當(dāng)M2與M3重合，坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）時(shí)，﹣1＝1+b，可得b＝﹣2；當(dāng)直線l與⊙O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，交y軸于F，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可判斷．

（1）①∵b＝﹣3時(shí)，直線l：y＝﹣x﹣3，

∴直線l與x軸的交點(diǎn)為：（﹣3，0），直線l與y軸的交點(diǎn)為：（0，﹣3），

∴O（0，0）在直線l的上方，

∴O（0，0）不是直線l的“達(dá)成點(diǎn)”，

∵當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝4﹣3＝1，

∴點(diǎn)A（﹣4，1）在直線l上，

∴點(diǎn)A是直線l的“達(dá)成點(diǎn)”，

∵點(diǎn)B（﹣4，﹣1）在直線l的下方，把點(diǎn)B（﹣4，﹣1）向上平移2個(gè)長度單位為（﹣4，1），

∴點(diǎn)B是直線l的“達(dá)成點(diǎn)”，

故答案為：A，B；

②設(shè)直線l：y＝﹣x﹣3，分別與直線y＝1、y＝﹣1、x＝﹣1、x＝1依次交于點(diǎn)M1、M2、M3、M4，如圖1所示：

則點(diǎn)M1，M2，M3，M4的橫坐標(biāo)分別為﹣4、﹣2、﹣1、1，

線段M1M2上的點(diǎn)向右的方向平移與⊙O能相交，線段M3M4上的點(diǎn)向上的方向平移與⊙O能相交，

∴線段M1M2和線段M3M4上的點(diǎn)是⊙O的“達(dá)成點(diǎn)”，

∴m的取值范圍是﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；

（2）如圖2所示：

當(dāng)M2與M3重合，坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）時(shí)，﹣1＝1+b，∴b＝﹣2；

②當(dāng)直線l與⊙O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，交y軸于F．

由題意，在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，OE＝1，∠EOF＝45°，

∴△OEF是等腰直角三角形，

∴OF＝OE＝；

觀察圖象可知滿足條件的b的值為﹣2≤b＜．