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        1. 已知:拋物線y=a(x-1)2+9經(jīng)過點,頂點為A,它的對稱軸AD與直線y=x及x軸分別交于點C,點D.
          (1)求a的值;
          (2)過該拋物線的頂點A向直線y=x作垂線,垂足為B,試判斷點B是否在拋物線上?
          (3)設(shè)點P是該拋物線上的一個動點,是否存在半徑為的⊙P,且⊙P既與直線y=x相切又與x軸相離?若有,求出點P的坐標(biāo);若無,請說明理由.

          【答案】分析:(1)把點代入y=a(x-1)2+9求出即可;
          (2)把代入y=a(x-1)2+9,求出拋物線的解析式和頂點A的坐標(biāo),作AB⊥直線y=x,垂足為B,得出C(1,1),推出△ODC、△ABC是等腰直角三角形,求出,作BT⊥x軸于點T,求出OT,得出B(5,5),把點B(5,5)代入看左邊、右邊是否相等即可;
          (3)由(2)得出,點A到直線y=x的距離為,推出⊙P與直線y=x相切、⊙P與x軸相離,①當(dāng)⊙P在直線y=x的左上方時,設(shè)過點A(1,9)且平行于直線y=x的直線l的解析式為:y=x+b,代入求出直線l的解析式,推出點P可能在直線l上,故設(shè)符合條件的點P的坐標(biāo)為(x,x+8),
          把點P(x,x+8)代入,求出即可;②當(dāng)⊙P在直線y=x的右下方時,根據(jù)圖形的對稱性,同理可得直線l'的解析式,設(shè)符合條件的點P的坐標(biāo)為(x,x-8),把點P(x,x-8)代入求出即可.
          解答:解:(1)把點代入y=a(x-1)2+9得:
          ,

          答:a的值是-

          (2)答:點B是在拋物線上.
          理由是:把代入y=a(x-1)2+9,得:
          拋物線的解析式為:,頂點A(1,9),
          作AB⊥直線y=x,垂足為B,依題意得:C(1,1),
          ∴△ODC是等腰直角三角形,,
          ∴∠OCD=∠ACB=45°,
          ∴△ABC是等腰直角三角形,
          在Rt△ABC中,AC=9-1=8,,
          ,
          作BT⊥x軸于點T,在Rt△OBT中,,
          ∴B(5,5),
          把點B(5,5)代入,左邊=5,右邊=,
          ∴左邊=右邊,
          ∴B(5,5)在拋物線上.

          (3)解:由(2)得△ABC是等腰直角三角形,,
          又AB⊥直線y=x,即點A到直線y=x的距離為,
          即點P與點A重合時,⊙P與直線y=x相切,
          ∵點P(1,9)到x軸的距離為9,,
          ∴⊙P與x軸相離,
          故點P1(1,9)符合題意,
          ①當(dāng)⊙P在直線y=x的左上方時,
          設(shè)過點A(1,9)且平行于直線y=x的直線l的解析式為:y=x+b,
          ∴9=1+b,
          ∴b=8,
          ∴直線l的解析式為:y=x+8,
          ∵直線l平行直線y=x,AB⊥直線l,,
          ∴直線l到直線y=x的距離為,
          則點P可能在直線l上,故設(shè)符合條件的點P的坐標(biāo)為(x,x+8),
          把點P(x,x+8)代入,解得:x=1或x=-3,
          ∴P1(1,9)或P2(-3,5),
          ∵P2(-3,5)到x軸的距離為5,,
          ∴⊙P2與x軸相交,
          ∴點P2不符合題意,舍去;
          ②當(dāng)⊙P在直線y=x的右下方時,根據(jù)圖形的對稱性,同理可得:
          距離為且平行于直線y=x的直線l'的解析式為:y=x-8,
          ∴點P可能在直線l'上,故設(shè)符合條件的點P的坐標(biāo)為(x,x-8),
          把點P(x,x-8)代入,解得:,
          ,
          到x軸的距離為,
          ∴⊙P3與x軸相交,故點P3不合題意,舍去.
          到x軸的距離為,
          ∴⊙P4與x軸相離
          綜合上述:符合條件的點P共有2點,它們的坐標(biāo)分別是(1,9)、
          答:設(shè)點P是該拋物線上的一個動點,存在半徑為的⊙P,且⊙P既與直線y=x相切又與x軸相離,點P的坐標(biāo)是(1,9),(-1-2,-9-2).
          點評:本題主要考查對解一元二次方程,等腰直角三角形的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,直線與圓的位置關(guān)系,用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知一拋物線與x軸的交點是A(-1,0)、B(m,0)且經(jīng)過第四象限的點C(1,n),而m+n=-1,mn=-12,求此拋物線的解析式.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:拋物線y=x2-(2m+4)x+m2-10與x軸交于A、B兩點,C是拋物線的頂點.
          (1)用配方法求頂點C的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);
          (2)“若AB的長為2
          2
          ,求拋物線的解析式.”解法的部分步驟如下,補全解題過程,并簡述步驟①的解題依據(jù),步驟②的解題方法;
          解:由(1)知,對稱軸與x軸交于點D(
           
          ,0)
          ∵拋物線的對稱性及AB=2
          2

          ∴AD=DB=|xA-xD|=2
          2

          ∵點A(xA,0)在拋物線y=(x-h)2+k上,
          ∴0=(xA-h)2+k①
          ∵h=xC=xD,將|xA-xD|=
          2
          代入上式,得到關(guān)于m的方程0=(
          2
          )2+(      )

          (3)將(2)中的條件“AB的長為2
          2
          ”改為“△ABC為等邊三角形”,用類似的方法求出此拋物線的解析式.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:拋物線y=x2-6x+c的最小值為1,那么c的值是( 。
          A、10B、9C、8D、7

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知拋物線y=x2-4x+1,將此拋物線沿x軸方向向左平移4個單位長度,得到一條新的拋物線.
          (1)求平移后的拋物線解析式;
          (2)由拋物線對稱軸知識我們已經(jīng)知道:直線x=m,即為過點(m,0)平行于y軸的直線,類似地,直線y=m,即為過點(0,m)平行于x軸的直線、請結(jié)合圖象回答:當(dāng)直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個交點,實數(shù)m的取值范圍;
          (3)若將已知的拋物線解析式改為y=x2+bx+c(b<0),并將此拋物線沿x軸向左平移-b個單位長度,試回答(2)中的問題.精英家教網(wǎng)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•鹽城模擬)如圖a,在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,6),B(4,0)

          (1)按要求畫圖:在圖a中,以原點O為位似中心,按比例尺1:2,將△AOB縮小,得到△DOC,使△AOB與△DOC在原點O的兩側(cè);并寫出點A的對應(yīng)點D的坐標(biāo)為
          (0,-3)
          (0,-3)
          ,點B的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為
          (-2,0)
          (-2,0)

          (2)已知某拋物線經(jīng)過B、C、D三點,求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式,并畫出大致圖象;
          (3)連接DB,若點P在CB上,從點C向點B以每秒1個單位運動,點Q在BD上,從點B向點D以每秒1個單位運動,若P、Q兩點同時分別從點C、點B點出發(fā),經(jīng)過t秒,當(dāng)t為何值時,△BPQ是等腰三角形?

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          同步練習(xí)冊答案