Question

【題目】(1) 如圖1，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2=_________度．

如圖2，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3=_________ 度．

如圖3，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_________度．

如圖4，MA1∥NA5，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_________度．

如圖5，MA1∥NAn，則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=_________ 度．

(2) 如圖,已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分線相交于F,∠E=80°，求∠BFD的度數(shù).

【答案】（1） 180； 360； 540；720；180（n-1）；（2）140°.

【解析】試題分析：（1）首先過各點(diǎn)作MA 1 的平行線，由MA 1 ∥NA 2 ，可得各線平行，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得答案；

（2）由（1）中的規(guī)律可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，所以∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°，又因?yàn)?/span>BF、DF平分∠ABE和∠CDE，所以∠FBE+∠FDE=140°，又因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為360°，進(jìn)而可得答案．

試題解析：（1）如圖1，

∵M(jìn)A 1 ∥NA 2 ，

∴∠A 1 +∠A 2 =180°．

如圖2，過點(diǎn)A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，

∵M(jìn)A 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 3 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 =360°．

如圖3，過點(diǎn)A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，過點(diǎn)A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M，

∵M(jìn)A 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°，∠C 2 A 3 A 4 +∠A 4 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 =540°．

如圖4，過點(diǎn)A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，過點(diǎn)A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M，

∵M(jìn)A 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°，∠C 2 A 3 A 4 +∠A 3 A 4 C 3 =180°，∠C 3 A 4 A 5 +∠A 5 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 +∠A 5 =720°；

從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：如圖5，MA 1 ∥NA n ，則∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180（n-1）度，

故答案為：180，360，540，720，180（n-1）；

（2）由（1）可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，

∵∠E=80°，

∴∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°，

又∵BF、DF平分∠ABE和∠CDE，

∴∠FBE+∠FDE=140°，

∵∠FBE+∠E+∠FDE+∠BFD=360°，

∴∠BFD=360°-80°-140°=140°．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)、四邊形的內(nèi)角和是360°，解題的關(guān)鍵是，（1）小題正確添加輔助線，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：MA 1 ∥NA n ，則∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180（n-1）度；（2）小題能應(yīng)用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連結(jié)AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”，那么在這一個(gè)簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請你發(fā)揮聰明才智，解決以下問題：

(1)在圖1中，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)有 個(gè)；

(3)在圖2中，若∠B＝76°，∠C＝80°，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N利用(1)的結(jié)論，試求∠P的度數(shù)；

(4)在圖3中，如果∠B和∠C為任意角，并且AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線，即∠PAO＝∠CAO， ∠BDP＝∠BOD，那么∠P與∠C、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系是 （直接寫出結(jié)論即可）．

Answer 1

【答案】(1) ∠A+∠C=∠B+∠D；證明見解析；（2）6；（3）78°；（4）∠P=

【解析】試題分析：（1）根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理可得解；

（2）根據(jù)“8字形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；

（3）在圖2中，由∠C=80°，∠B=76°，可求∠P的度數(shù)；

（4）由（3）中的結(jié)論可得解.

試題解析：（1）在△AOC中，∠AOC=180°-∠A-∠C，

在△DOB中，∠BOD=180°-∠D-∠B，

∵∠AOC=∠BOD

∴180°-∠A-∠C=180°-∠D-∠B

∴∠A+∠C=∠B+∠D

（2）交點(diǎn)有點(diǎn)M、N各有1個(gè)，交點(diǎn)O有4個(gè)，所以，“8字形”圖形共有6個(gè)；

（3）∵∠B＝76°，∠C＝80°，

∴∠OAC+80°=∠ODB+76°，

∴∠ODB-∠OAC =4°，

∵AP、DP分別是∠CAO、∠BDO的角平分線

∴∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO

又∵∠CAM+∠C=∠PDO+∠P

∴∠P=∠CAM+∠C-∠PDO= (∠CAO-∠BDO)+∠C=-2°+80°=78°

（4）由（3）可知∠P=∠CAM+∠C-∠PDO，

當(dāng)AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線時(shí)，則有

∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO

∴∠P= (∠CAO-∠BDO)+∠C,

又∵由（3）知∠CAO-∠BDO=∠B-∠C

∴∠P=∠B-∠C+∠C=∠B+∠C