Question

18．如圖，雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點A（1，2），過點A作y軸的垂線，垂足為B，交雙曲線y=-$\frac{18}{x}$于點C，直線y=m（m≠0）分別交雙曲線y=-$\frac{18}{x}$、y=$\frac{k}{x}$于點P、Q．
（1）求k的值；
（2）若△OAP為直角三角形，求點P的坐標；
（3）△OCQ的面積記為S_△OCQ，△OAP的面積記為S△OAP，試比較S_△OCQ與S_△OAP的大小（直接寫出結論）．

Answer 1

分析 （1）直接把點A（1，2）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$，求出k的值即可；
（2）設P（-$\frac{18}{m}$，m），再分∠AOP=90°，∠OAP=90°及∠APO=90°三種情況進行討論；
（3）根據(jù)A（1，2）可得出C（-9，2），設P（-$\frac{18}{m}$，m），則Q（$\frac{2}{m}$，m），分別過點A、Q、P、C作x軸的垂線，垂足分別為M、N、K、H，再由反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點得出△AOM，△QON，△COH與△POK的面積，根據(jù)S_△OCQ=S_梯形CHNQ-S_△COH-S_△POK，S_△OAP=S_梯形AMKP-S_△AOM-S_△POK即可得出結論．

解答 解：（1）∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點A（1，2），
∴k=1×2=2；

（2）設P（-$\frac{18}{m}$，m），
∵A（1，2），
∴OA²=1²+2²=5，AP²=（1+$\frac{18}{m}$）²+（2-m）²，OP²=（$\frac{18}{m}$）²+m²，
當∠AOP=90°時，
∵OA²+OP²=AP²，即5+（$\frac{18}{m}$）²+m²=（1+$\frac{18}{m}$）²+（2-m）²，解得m=±3，
∴P₁（-6，3），P₂（6，-3）；
當∠OAP=90°時，
∵OA²+AP²=OP²，即5+（1+$\frac{18}{m}$）²+（2-m）²=（$\frac{18}{m}$）²+m²，解得m=$\frac{9±3\sqrt{73}}{8}$，
∴P₃（$\frac{9-3\sqrt{73}}{4}$，$\frac{9+3\sqrt{73}}{8}$），P₄（$\frac{9+3\sqrt{73}}{4}$，$\frac{9-3\sqrt{73}}{8}$）；
當∠APO=90°時，此種情況不存在；

（3）∵A（1，2），
∴C（-9，2）．
設P（-$\frac{18}{m}$，m），則Q（$\frac{2}{m}$，m），
分別過點A、Q、P、C作x軸的垂線，垂足分別為M、N、K、H，
∵點A、Q在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴S_△AOM=S_△QON=1．
∵點C、P在反比例函數(shù)y=-$\frac{18}{x}$的圖象上，
∴S_△COH=S_△POK=9．
S_△OCQ=S_梯形CHNQ-S_△COH-S_△POK，S_△OAP=S_梯形AMKP-S_△AOM-S_△POK，
∴S_△OCQ-S_△OAP=S_梯形CHNQ-S_梯形AMKP，
∵梯形CHNQ與梯形AMKP的上底與下底相同，
∴只要比較HN與KM的大小即可，
∵HN-KM=（9+$\frac{2}{\left|m\right|}$）-（1+$\frac{18}{\left|m\right|}$）=8-$\frac{16}{\left|m\right|}$，
∴當m=±2時，HN=KM，即S_△OCQ=S_△OAP；
當m＞2或m＜-2時，8-$\frac{16}{\left|m\right|}$＞0，即S_△OCQ＞S_△OAP；
當-2＜m＜2時，8-$\frac{16}{\left|m\right|}$＜0，即S_△OCQ＜S_△OAP．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．