Question

已知拋物線y=mx²-mx-2m交x軸于A（x₁，0），B（x₂，0）交y軸負半軸于C點，且x₁＜0＜x₂，（AO+OB）²=12CO+1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P，使∠APB為銳角？若存在，求出P點的橫坐標的范圍；若不存在，請說明理由．
（3）如圖點E（2，-5），將直線CE向上平移a個單位與拋物線交于M，N兩點，若AM=AN，求a的值．

Answer 1

解：（1）拋物線y=mx²-mx-2m交x軸于A（x₁，0），B（x₂，0），
所以x₁+x₂=3，x₁•x₂=-4m，
∵拋物線y=mx²-mx-2m交y軸負半軸于C點，
∴點C（0，-2m），-2m＜0，
∴m＞0，
∵x₁＜0＜x₂，
∴AO+OB=-x₁+x₂，OC=|-2m|=2m，
∴（AO+OB）²=（-x₁+x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9+16m，
12OC+1=24m+1，
∴9+16m=24m+1，
解得m=1，
即拋物線的解析式為：y=x²-x-2；

（2）易知：A點坐標為（-1，0），B點坐標為（4，0），C點坐標為（0，-2），
連接AC，BC，AC=，BC=2，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°．
設C關于拋物線對稱軸的對稱點為C′，那么C′坐標為（3，-2），
根據(jù)拋物線的對稱性可知：如果連接AC′、BC′，那么∠AC′B=90°，
因此如果以AB為直徑作圓，那么此圓必過C，C′，
根據(jù)圓周角定理可知：x軸下方的半圓上任意一點和A、B組成的三角形都是直角三角形，
如果設P點橫坐標為x，那么必有當0＜x＜3時，∠APB為銳角，
故當0＜x＜3時，∠APB為銳角；

（3）∵C（0，-2），E（2，-5），
∴直線CE的解析式為y=-x-2．
設直線CE向上平移a個單位后的解析式為y=-x+b，則-2+a=b，
設直線y=-x+b與拋物線y=x²-x-2交于M，N兩點，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∵-x+b=x²-x-2，
∴x²-2-b=0，
∴x₁+x₂=0，
∴點M與點N的橫坐標互為相反數(shù)，
設點M與的橫坐標為t，則M（t，-x+b），N（-t，t+b），
∵AM=AN，A（-1，0），
∴（t+1）²+（-t+b）²=（t-1）²+（t+b）²，
整理，得4t-6bt=0，
∵t=0時，M，N兩點都與點C重合，不合題意舍去，
∴當t≠0時，b=，
此時-2+a=，解得a=．
故所求a的值為．
分析：（1）可根據(jù)（AO+OB）²=12CO+1以及一元二次方程根與系數(shù)的關系來求出m的值，進而可確定出拋物線的解析式；
（2）本題的關鍵是找出∠APB為直角時，P點的位置，根據(jù)（1）的拋物線不難得出A，B，C三點的坐標為（-1，0），（4，0），（0，-2）．如果∠APB為直角，那么點P必為以AB為直徑的圓與拋物線的交點．據(jù)此可判斷出∠APB為銳角時，P點橫坐標的范圍；
（3）由C（0，-2），E（2，-5），利用待定系數(shù)法求出直線CE的解析式為y=-x-2．設直線CE向上平移a個單位后的直線y=-x+b與拋物線y=x²-x-2交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點，令-x+b=x²-x-2，由根與系數(shù)的關系可知x₁+x₂=0，則點M與點N的橫坐標互為相反數(shù)，設M（t，-x+b），則N（-t，t+b），根據(jù)AM=AN，由兩點間的距離公式得出（t+1）²+（-t+b）²=（t-1）²+（t+b）²，解方程求出b的值，則a=b+2．
點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，圓周角定理，二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式的確定及交點問題，解析式的平移規(guī)律等知識點，有一定難度．要注意的是（2）中結合圓周角的相關知識來理解問題可使問題簡化，（3）中根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到點M與點N的橫坐標互為相反數(shù)是解題的關鍵．