Question

如圖，已知拋物線y=mx²+nx+p與y=x²+6x+5關(guān)于y軸對稱，與y軸交于點M，與x軸交于點A和B．
（1）y=mx²+nx+p的解析式為

 

，試猜想出與一般形式拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式為

 

．
（2）A，B的中點是點C，則sin∠CMB=

 

．
（3）如果過點M的一條直線與y=mx²+nx+p圖象相交于另一點N（a，b），a，b滿足a²-a+m=0，b²-b+m=0，則點N的坐標為

 

．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=mx²+nx+p與y=x²+6x+5關(guān)于y軸對稱，即y=x²+6x+5上的點關(guān)于y軸的對稱點在函數(shù)y=mx²+nx+p上，可以在y=x²+6x+5上取幾點，求出它們關(guān)于y軸的對稱點，利用待定系數(shù)就可以求出函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式，可以求出A，B點的坐標，則C的坐標也可以求出．過點C作CD⊥BM，易證，△BCD是等腰直角三角形，在直角△BCD中根據(jù)三角函數(shù)可以求出CD，在直角△NOC中，根據(jù)勾股定理就可以求出MC的長，則sin∠CMB就可以求出．
（3）設(shè)過點M（0，5）的直線為y=kx+b，則b=5．則直線的解析式是y=kx+5，與拋物線的解析式組成方程組，解方程組就可以得到N，M兩點的坐標，可以得到a，b的關(guān)系，從而求出值．

解答：解：（1）y=x²+6x+5的頂點為（-3，-4），
即y=mx²+nx+p的頂點的為（3，-4），
設(shè)y=mx²+nx+p=a（x-3）²-4，
y=x²+6x+5與y軸的交點M（0，5），
即y=mx²+nx+p與y軸的交點M（0，5）．
即a=1，
所求二次函數(shù)為y=x²-6x+5．
猜想：
與一般形式拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式是y=ax²-bx+c．


（2）過點C作CD⊥BM．
拋物線y=x²-6x+5與x軸的交點A（1，0），B（5，0），與y軸交點M（0，5），AB中點C（3，0）．
故△MOB，△BCD是等腰直角三角形，CD=

2

2

BC=

2

．
在Rt△MOC中，MC=

34

．
則sin∠CMB=

CD

MC

=

17

17

．

（3）設(shè)過點M（0，5）的直線為y=kx+b，則b=5．

y=kx+5 y=x2-6x+5

，
解得

x1=0 y1=5

，

x2=k+6 y2=k2+6k+5

，
則a=k+6，b=k²+6k+5，
由已知a，b是方程x²-x+m=0的解，故a+b=1．
即（k+6）+（k²+6k+5）=1，
化簡k²+7k+10=0，則k₁=-2，k₂=-5．
點N的坐標是（4，-3）或（1，0）．

點評：本題主要考查了關(guān)于y軸對稱的函數(shù)解析式的關(guān)系，已知一個函數(shù)的解析式，利用-x代替式子中的x，就可以得到函數(shù)關(guān)于y軸
對稱的函數(shù)的解析式．