Question

如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，小圓的半徑長(zhǎng)為2，大圓的弦AB與小圓交于點(diǎn)C、D，且AB=3CD，∠COD=60°．
（1）求大圓半徑的長(zhǎng)；
（2）若大圓的弦AE與小圓切于點(diǎn)F，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）求大圓的半徑，需通過構(gòu)建直角三角形求解．連接OA，取AB的中點(diǎn)M，連接OM；在構(gòu)建的Rt△OAM中，OM的長(zhǎng)可在等邊△OCD中求出，而AB=3CD=6，因此AM=3；根據(jù)勾股定理可求出OA即大圓的半徑長(zhǎng)．
（2）連接OF，由切線的性質(zhì)知：OF⊥AE；根據(jù)垂徑定理可得AF=

1

2

AE；
由于AC=CD=2，可用切割線定理求出AF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖，在小圓中；
∵CO=DO，∠COD=60°；
∴△COD是等邊三角形；
取CD的中點(diǎn)M，連接OM，則OM⊥CD；
∵CO=2，
∴OM=

3

2

CO=

3

．
連接AO，在Rt△AOM中，AM=

3

2

CD=3；
∴AO=

OM2+AM2

=

3+9

=2

3

．
即大圓的半徑長(zhǎng)為2

3

．

（2）連接OF．
∵AE是小圓的切線，且切點(diǎn)為F；
∴OF⊥AE．
又∵AE為大圓的弦，
∴AE=2AF．
由切割線定理，有：AF²=AC•AD；
∵AC=CD=2，AD=2CD，
∴AF=2

2

；
∴AE=2AF=4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了垂徑定理、解直角三角形和切割線定理．求圓的弦長(zhǎng)等問題一般要轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．