Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D．

(1)在圖(1)中，用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交BC于點(diǎn)E；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)如圖(2)，如果⊙O的半徑為3，ED＝4，延長(zhǎng)EO交⊙O于F，連接DF，與OA交于點(diǎn)G，求OG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)OG＝．

【解析】

(1)連接OD,作∠COD的平分線交BC于點(diǎn)E,連接DE,DE就是⊙O的切線;

(2)連接OD,CD.CD與FF交于點(diǎn)H,根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得OE⊥CD， 然后利用勾股定理可得AD= .由題意易得OE∥AB,于是易證△OFG∽△ADG,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例,即可求出OG的長(zhǎng).

(1)切線DE如圖所示；

(2)連接CD，OD；

由題意EC、ED是⊙O的切線，

∴EC＝ED，∵OC＝OD，

∴OE⊥CD，

∵AC是直徑，

∴∠CDA＝90°，

∴CD⊥AB，

∴OE∥AB，

∴，

在Rt△ECO中，EO＝ ＝5，

∵∠EOC＝∠CAD，

∴cos∠CAD＝cos∠EOC＝ ＝ ，

∴AD＝ ，設(shè)OG＝x，

則有，

∴x＝ ，

∴OG＝．