Question

2．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，求y的取值范圍；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△BCM是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求得其解析式，再化為頂點(diǎn)式即可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由解析式可求得其對(duì)稱軸，再結(jié)合函數(shù)的增減性分0＜x＜1和1＜x＜3分別求y的最大值和最小值即可求得y的取值范圍；
（3）可設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，t），則可表示出BM、CM和BC的長度，分BM=BC、CM=BC和BM=CM三種情況分別可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，則可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；
（2）∵y=（x-1）²-4，
∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=1，
∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值為-3，當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值為-4，
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值為0，當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值為-4，
∴當(dāng)0＜x＜3時(shí)，-4＜y＜0；
（3）由（2）可知拋物線對(duì)稱軸為x=1，
∴可設(shè)M（1，t），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BC=3$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{（3-1）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$，CM=$\sqrt{{1}^{2}+（t+3）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$，
∵△BCM為等腰三角形，
∴有BM=BC、CM=BC和BM=CM三種情況，
①當(dāng)BM=BC時(shí)，即$\sqrt{4+{t}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，解得t=±$\sqrt{14}$，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\sqrt{14}$）或（1，$\sqrt{14}$），
②當(dāng)CM=BC時(shí)，即$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$=3$\sqrt{2}$，解得t=-3±$\sqrt{17}$，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3+$\sqrt{17}$）或（1，-3$\sqrt{17}$），
③當(dāng)BM=CM時(shí)，即$\sqrt{4+{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$，解得t=-1，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），
綜上可知存在滿足條件的M點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，$\sqrt{14}$）或（1，$\sqrt{14}$）或（1，-3+$\sqrt{17}$）或（1，-3$\sqrt{17}$）或（1，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意待定系數(shù)法及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，在（2）中確定出函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵，也可以直接利用圖象求解，在（3）中分三種情況分別得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．