Question

如圖，已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°．
（1）將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出△P′CB的位置．
（2）①求PC的長(zhǎng)；
②求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域的面積．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的位置進(jìn)而得出即可；
（2）①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，∠PP′C=90°，利用勾股定理得出PC的長(zhǎng)；
②根據(jù)PA所掃過(guò)區(qū)域的面積為：S_扇形ABC+S_△BCP′-S_扇形PBP′-S_△ABP，進(jìn)而得出即可．

解答：解：（1）如圖所示：△P′CB即為所求；

（2）①連接PP′，
∵將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
∴PB=P′B=4，A，P，P′在一條直線上，∠PP′C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，
∵∠APB=135°，
∴∠BPP′=45°，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=4

2

，
∵P′C=PC=2，
∴PC=

(4 2 )2+22

=6；

②△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域的面積為：
S_扇形ABC+S_△BCP′-S_扇形PBP′-S_△ABP=S_扇形ABC-S_扇形PBP′=

90π(52-42)

360

=

9

4

π．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)圖形的畫法和扇形面積公式等知識(shí)，根據(jù)題意得出旋轉(zhuǎn)后圖形的形狀是解題關(guān)鍵．