Question

【題目】如圖：已知正方形OABC的邊OC、OA分別在x軸和y軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，4）．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，且與x軸的交點(diǎn)為E、F．點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H，直線OH交直線BC于點(diǎn)D，連接AD．

（1）求b、c的值；

（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC中點(diǎn)時(shí)，能否將△AOP繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后使得△AOP的兩個(gè)頂點(diǎn)落在x軸上方的拋物線上？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心M的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1） (2)P1（2，0）；P2（2+2，0）；P3（2﹣2，0）．（3）（2，2），（1 ，3），（﹣， ）；

【解析】（1）把（0，4），（4，4）分別代入y=﹣ x2+bx+c中，

得，

解得 ；

（2）解：設(shè)P（t，0）①當(dāng)P點(diǎn)在線段OC上時(shí)，如原圖所示；

∵∠OAP＜45°，∠BAD＜45°

∵若△AOP∽△ABD，AO=AB，

∴OP=BD，

∴OP=BD=CD=2，

∴t=2

∴P1（2，0）．

②點(diǎn)P在線段CF上時(shí)，如圖1所示：

∵∠ADB＞∠ODC，

∵∠APO=∠ODC，

∴∠ABD＞∠APO，

∴若△AOP∽△ABD，則=，

在△AOP與△OCD中

∴△AOP≌△OCD（AAS），

∴OP=CD，

∴DB=PC=t﹣4，

∴ ，

解得t=2﹣2 （舍去）或t=2+2，

∴P2（2+2，0）．

③點(diǎn)P在線段OE上時(shí)，如圖2所示；

∵∠COD+∠ODC=90°，∠HOP+∠APO=90°，∠COD=∠HOP，

∴∠ODC=∠APO，

∵∠ODC＞∠ADB，

∴∠APO＞∠ADB，

∴若△AOP∽△ABD，則=，

在△AOP與△OCD中

∴△AOP≌△OCD（AAS），

∴OP=CD，

∴DB=PC=4﹣t，

∴，

解得t=2+2（舍去）或t=2﹣2，

∴P3（2﹣2，0）．

（3）（2，2），（1 ，3），（﹣， ）；

如圖3所示：設(shè)△AOP繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′O′P′，且P′、A′兩點(diǎn)在拋物線y=﹣ x2+ x+4上，

設(shè)O′（x，y），則P′（x，y﹣2），A′（x+4，y）

∴，

解得，

作MG⊥O′A′于G，MH⊥OC于H，設(shè)M（a，b），

∵△O′MG≌△MOH，

∴O′G=MH=b，MG=OH=a，

∴，

解得，

∴M（1 ，3）．