Question

【題目】小明研究了這樣一道幾何題：如圖 1，在ABC 中，把 AB 點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 00 1800 得到 AB ，把 AC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到 AC ，連接 BC ．當(dāng) 180° 時(shí)， 請(qǐng)問ABC 邊 BC 上的中線 AD 與 BC 的數(shù)量關(guān)系是什么？ 以下是他的研究過程：

特例驗(yàn)證：

（1）①如圖 2，當(dāng)ABC 為等邊三角形時(shí)，AD 與 BC 的數(shù)量關(guān)系為 AD 　　BC ；

②如圖 3，當(dāng)BAC 900 , BC 8時(shí)，則 AD 長為 　　　．

猜想論證：

（2）在圖 1 中，當(dāng)ABC 為任意三角形時(shí)，猜想 AD 與 BC 的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

拓展應(yīng)用

（3）如圖 4，在四邊形 ABCD ，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn) P ，使PDC 與PAB 之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系？若存在， 請(qǐng)畫出點(diǎn) P 的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出PDC 的邊 DC 上的中線 PQ 的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）① ②4 （2），證明見解析 （3）存在，作圖見解析，

【解析】

（1）①首先證明是含有30°的直角三角形，可得，即可解決問題；②首先證明，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；

（2）結(jié)論：，延長AD到M，使得，連接，先證明四邊形是平行四邊形，再證明，即可解決問題；

（3）存在，如圖4，延長AD交BC的延長線于M，作于E，做線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN，連接DF交PC于O，先證明，再證明，即可得出結(jié)論，再根據(jù)勾股定理求出PC的長，即可求出PQ的長．

（1）①∵△ABC是等邊三角形

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

故答案為：

②∵

∴

∵

∴

∴

∴

故答案為：4；

（2）

如圖（1）中，延長AD到M，使得，連接

∵

∴四邊形是平行四邊形

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴；

（3）存在，如圖4，延長AD交BC的延長線于M，作于E，做線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN，連接DF交PC于O

∵

∴

∵

∴

在Rr△DCM中

∵

∴

在Rt△BEM中

∴

∴

∴

∵

∴

∵

∴，

在Rt△CDF中

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴四邊形CDPF是矩形

∴

∴

∴△ADP是等邊三角形

∴

∵

∴

∴

∴由（1）結(jié)論得

∴PDC 與PAB 之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系

在Rt△FCP中

∴

∴

∴．