Question

（2012•豐臺區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+2（k-1）=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果拋物線y=x²-4x+2（k-1）與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)為整數(shù)，求正整數(shù)k的值；
（3）直線y=x與（2）中的拋物線在第一象限內(nèi)的交點為點C，點P是射線OC上的一個動點（點P不與點O、點C重合），過點P作垂直于x軸的直線，交拋物線于點M，點Q在直線PC上，距離點P為

2

個單位長度，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根，那么根的判別式必大于0，據(jù)此求出k的取值范圍．
（2）此題求的是“正整數(shù)”k的值，結(jié)合（1）的結(jié)論很容易得出k的值，代入拋物線的解析式中直接進行驗證即可（令y=0，求出x的值，判斷x的值是否為整數(shù)）．
（3）首先要求出點C的坐標(biāo)，即可得到∠COx的度數(shù)，那么過Q作PM的垂線后，通過構(gòu)建的直角三角形，結(jié)合∠COx的度數(shù)可將PQ的長轉(zhuǎn)化為Q到PM的距離；若以PM為底、Q到PM的距離為高，可表示△PMQ的面積，由此得到關(guān)于S、t的函數(shù)解析式；在求PM的表達式時，要注意P、M的位置．

解答：解：（1）由題意得△＞0．∴△=（-4）²-4[2（k-1）]=-8k+24＞0．
∴解得k＜3．

（2）∵k＜3且k為正整數(shù)，∴k=1或2．
當(dāng)k=1時，y=x²-4x，與x軸交于點（0，0）、（4，0），符合題意；
當(dāng)k=2時，y=x²-4x+2，與x軸的交點不是整數(shù)點，故舍去．
綜上所述，k=1．

（3）∵

y=x y=x2-4x

∴點C的坐標(biāo)是（5，5）．∴OC與x軸的夾角為45°．
過點Q作QN⊥PM于點N，（注：點Q在射線PC上時，結(jié)果一樣，所以只寫一種情況即可）
∴∠NQP=45°，S=

1

2

PM•NQ．
∵PQ=

2

，∴NQ=1．
∵P（t，t），則M（t，t²-4t），∴PM=|t-（t²-4t）|=|-t²+5t|．
∴S=

1

2

|-t²+5t|．
∴當(dāng)0＜t＜5時，S=-

1

2

t²+

5

2

t；
當(dāng)t＞5時，S=

1

2

t²-

5

2

t．

點評：該題的難度不大，主要涉及：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)解析式的確定以及三角形面積的解法等基礎(chǔ)知識．（3）題中，PM表達式與t的值有密切的聯(lián)系，因此在解答時，一定不能漏掉自變量的取值范圍．