Question

如圖，已知⊙O的兩條弦AC、BD相交于點Q，OA⊥BD．
（1）求證：AB²=AQ•AC；
（2）若過點C的⊙O的切線交DB的延長線于點P，求證：PC=PQ．

Answer 1

分析：（1）要求證AB²=AQ•AC，可以轉(zhuǎn)化為△ABQ∽△ACB．
（2）要求證PC=PQ，可以根據(jù)等角對等邊可以證得．

解答：證明：（1）連接BC，
∵OA⊥BD，
∴

AB

=

AD

．
在△ABQ與△ACB中，
∵∠BAQ=∠CAB，
∵

AB

=

AD

，
∴∠ABD=∠ACB．
∴△ABQ∽△ACB．
∴

AB

AC

=

AQ

AB

．
∴AB²=AQ•AC．

（2）連接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO．
又∵PC是⊙O的切線，
∴OC⊥PC．
∴∠2+∠5=90°．
∵OA⊥DB，
∴∠4+∠7=90°．
∵OA=OC∠3=∠4，
∴∠5=∠7．
∴∠2=∠3．
∴PC=PQ．

點評：證明線段的乘積相等的問題可以轉(zhuǎn)化為證明三角形相似．可以利用等角對等邊證明了線段相等．