Question

如圖是某工廠貨物傳送帶的平面示意圖．為提高傳送過程的安全性，工廠計劃改造傳送帶與地面的夾角，使其由原來的43°減小為30°．已知原傳送帶AB長為5米．
（1）求新傳送帶AC的長度（結果保留小數(shù)點后一位）；
（2）新舊貨物傳送帶著地點B、C之間相距多遠（結果保留小數(shù)點后一位）？
（參考數(shù)據(jù)：cos30°≈0.866，tan 30°≈0.577，sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933．）

Answer 1

分析：（1）過A作BC的垂線AD．在構建的直角三角形中，首先求出兩個直角三角形的公共直角邊，進而在Rt△ACD中，求出AC的長．
（2）通過解直角三角形，可求出BD、CD的長，進而可求出BC的長．

解答：解：（1）過點A作AD垂直于CB的延長線于點D． 
在Rt△ADB中，AB=5，∠ABD=43°，
∵sin∠ABD=

AD

AB

，cos∠ABD=

BD

AB

，
∴AD=AB•sin∠ABD=5×sin43°≈3.41，
    BD=AB•cos∠ABD=5×cos43°≈3.66．
在Rt△ADC中，
∵sin∠ACD=

AD

AC

，
   AC=

AD

sin∠ACD

=

AD

sin30°

=6.82≈6.8．
答：新傳送帶AC的長約為6.8米．

（2）在Rt△ACD中，AC≈6.82，∠ACD=30°，
∵cos∠ACD=

CD

AC

，
CD=AC•cos∠ACD≈6.82×cos30°≈5.91． 
∴BC=CD-BD=5.91-3.66≈2.3．
答：新舊貨物傳送帶著地點B、C之間相距2.3米．

點評：本題考查了坡度坡角問題，應用問題盡管題型千變萬化，但關鍵是設法化歸為解直角三角形問題，必要時應添加輔助線，構造出直角三角形．在兩個直角三角形有公共直角邊時，先求出公共邊的長是解答此類題的基本思路．