Question

如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）寫(xiě)出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；

（2）連結(jié)FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FC和FG的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，（2）1，.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件，∠DME=∠A=∠B=α，結(jié)合圖形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，推出BG的長(zhǎng)度，依據(jù)銳角三角函數(shù)推出AC的長(zhǎng)度，即可求出CG、CF的長(zhǎng)度，繼而推出FG的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，

∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D

又∠B=∠A=∠DME=α

∴∠AMF=∠BGM，

∴△AMF∽△BGM，

（2）連接FG，

由（1）知，△AMF∽△BGM，

，

BG=

∠α=45°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∵M(jìn)是線段AB中點(diǎn)，

∴AB=4，AM=BM=2，

AC=BC=4，CF=AC-AF=1，

CG=4-=，

∴由勾股定理得FG=

考點(diǎn)：相似三角形的判定．