Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），拋物線經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的函數(shù)解析式；

（3）點(diǎn)F為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連接ON、BN，當(dāng)四邊形ABNO的面積最大時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)并求出四邊形ABNO面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）E點(diǎn)坐標(biāo)為(0, )；（2） ；（3）四邊形ABNO面積的最大值為，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(， )．

【解析】

（1）先利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式，與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)E；

（2）利用待定系數(shù)法拋物線的函數(shù)解析式；

（3）先設(shè)N(m，m2m)(0＜m＜3)，則G（m，m），根據(jù)面積和表示四邊形ABNO的面積，利用二次函數(shù)的最大值可得結(jié)論．

（1）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（-1，1），B（3，3）代入得，解得，

所以直線AB的解析式為y＝x+，

當(dāng)x=0時(shí)，y＝×0+＝，

所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得，解得，

所以拋物線解析式為y＝x2x；

（3）如圖，作NG∥y軸交OB于G，OB的解析式為y=x，

設(shè)N(m，m2m)(0＜m＜3)，則G（m，m），

GN＝m(m2m)＝m2+m，

S△AOB=S△AOE+S△BOE=××1+××3=3，

S△BON＝S△ONG+SBNG＝3(m2+m)＝m2+m

所以S四邊形ABNO＝S△BON+S△AOB＝m2+m+3＝ (m)2+

當(dāng)m＝時(shí)，四邊形ABNO面積的最大值，最大值為，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．