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        1. 已知,如圖,矩形ABCD中,E是CD的中點,連接BE并延長BE交AD的延長線于點F,連接AE.

          (1)求證:AD=DF;

          (2)若AD=3,AE⊥BE,求AB的長.


          【考點】矩形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理.

          【專題】幾何綜合題.

          【分析】(1)根據(jù)E是CD的中點,BC∥AF可確定EF=EB,從而得出△EBC≌△EFD,繼而得出結論.

          (2)由(1)得出的EF=EB,結合AE⊥BE可得AB=AF,從而根據(jù)AD=3可得出答案.

          【解答】解:(1)∵BC∥AF,E是CD的中點,

          ∴E是線段FB的中點,

          ∴FE=EB,

          又∠FED=∠BEC,DE=EC,

          ∴△EBC≌△EFD,

          ∴AD=DF.

           

          (2)由(1)得:EF=EB,

          又AE⊥BE,

          ∴AB=AF(中垂線的性質(zhì))

          ∴AB=AF=2AD=6.

          【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的知識,有一定的難度,解答本題的關鍵是根據(jù)題意得出E是FB的中點,這是本題的突破口.


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