Question

3．如圖，線段AB長為6cm，點C是線段AB上一動點（不與A，B重合），分別以AC和BC為斜邊，在AB的同側作等腰直角三角形△ADC，△CEB，點P是DE的中點，當點C從距離A點1cm處沿AB向右運動至距離B點1cm處時，點P運動的路徑長是2cm．

Answer 1

分析 分別延長AD、BE交于點F，易證四邊形CDFE為平行四邊形，得出P為CF中點，設點C從距離A點1cm處G沿AB向右運動至距離B點1cm處H，則P的運行軌跡為△FGH的中位線MN．再求出GH的長，運用中位線的性質求出MN的長度即可．

解答 解：如圖，分別延長AD、BE交于點F．
∵△ADC和△ECB都是等腰直角三角形，且∠ADC=∠CEB=90°
∵∠A=∠ECB=45°，
∴AF∥CE，
同理，CD∥BF，
∴四邊形CDFE為平行四邊形，
∴CF與DE互相平分．
∵R為DE的中點，
∴R為CF中點，即在P的運動過程中，R始終為FC的中點，所以R的運行軌跡為三角形FGH的中位線MN．
∵GH=AB-AG-BH=6-1-1=4，
∴MN=$\frac{1}{2}$GH=2，即R的移動路徑長為2cm．
故答案為2．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質、三角形中位線的性質、平行四邊形的判定和性質，以及動點問題，是中考的熱點，解題的關鍵是正確尋找點R的運動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．