Question

【題目】若二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，且過點(diǎn)C (3，﹣2)．

（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且S△PBA＝5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出點(diǎn)M到y軸的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)M到y軸的距離為

【解析】

(1)由待定系數(shù)法可求解析式；

(2)設(shè)直線BP與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PD⊥OA于D，設(shè)點(diǎn)P(a，a2-a-2)，則PD=a2-a-2，利用參數(shù)求出BP解析式，可求點(diǎn)E坐標(biāo)，由三角形面積公式可求a，即可得點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)如圖2，延長BM到N，使BN=BO，連接ON交AB于H，過點(diǎn)H作HF⊥AO于F，由全等三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)N坐標(biāo)，求出BN解析式，可求點(diǎn)M坐標(biāo)，即可求解．

(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx-2的圖象過點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)C (3，-2)，

∴，

解得：

∴二次函數(shù)表達(dá)式為：；

(2)設(shè)直線BP與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PD⊥OA于D，

設(shè)點(diǎn)P(a，a2-a-2)，則PD=a2-a-2，

∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B(0，-2)，

設(shè)BP解析式為：，

∴a2-a-2=ka﹣2，

∴，

∴BP解析式為：y=()x﹣2，

∴y=0時(shí)，，

∴點(diǎn)E(，0)，

∵S△PBA=5，

∵S△PBA=,

∴，

∴a=-1(不合題意舍去)，a=5，

∴點(diǎn)P(5，3)；

(3)如圖2，延長BM到N，使BN=BO，連接ON交AB于H，過點(diǎn)H作HF⊥AO于F，

∵BN=BO，∠ABO=∠ABM，AB=AB，

∴△ABO≌△ABN(SAS)

∴AO=AN，且BN=BO，

∴AB垂直平分ON，

∴OH=HN，AB⊥ON，

∵AO=4，BO=2，

∴AB=，

∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OH，

∴OH=，

∴AH=，

∵cos∠BAO=，

∴，

∴AF=，

∴HF=，

OF=AO﹣AF= 4﹣=，

∴點(diǎn)H(，-)，

∵OH=HN，

∴點(diǎn)N(，﹣)

設(shè)直線BN解析式為：y=mx﹣2，

∴﹣=m﹣2，

∴m=﹣，

∴直線BN解析式為：y=﹣x﹣2，

∴x2﹣x﹣2=﹣x﹣2，

∴x=0(不合題意舍去)，x=，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)(，﹣)，

∴點(diǎn)M到y軸的距離為．