Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，AC⊥CD，連接BE、CE、CF．

（1）判斷四邊形ABCE的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）如果AB＝4，∠D＝30°，點(diǎn)P為BE上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAF的周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCE是菱形，理由見(jiàn)解析；（2）△PAF的周長(zhǎng)的最小值為+2．

【解析】

（1）先證明四邊形ABCE是平行四邊形，再結(jié)合直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)得出CE=AE，從而可得到四邊形ABCE是菱形；
（2）當(dāng)PA+PF最小時(shí)，△PAF的周長(zhǎng)最小．由（1）知四邊形ABCE是菱形，得點(diǎn)A、C關(guān)于BE對(duì)稱(chēng)，得出PC=AP，即點(diǎn)P為CF與BE的交點(diǎn)時(shí)，C，P，F三點(diǎn)共線(xiàn)，PA+PF=PC+PF最小，此時(shí)△PAF的周長(zhǎng)=PA+PF+AF=CF+AF．再證明△ACE是等邊三角形，得AC=AE=CE=4，又根據(jù)AF=AE=2，結(jié)合勾股定理可得出CF的長(zhǎng)，從而可得出結(jié)果．

解：（1）四邊形ADCE是菱形，理由如下：
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE=AD．
∵BC=AD，∴AE=BC．
∵BC∥AD，即BC∥AE．
∴四邊形ABCE是平行四邊形．
∵AC⊥CD，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴CE=AE，
∴四邊形ABCE是菱形；
（2）由（1）得，四邊形ABCE是菱形．
∴AE=EC=AB=4，且點(diǎn)A、C關(guān)于BE對(duì)稱(chēng)，∴AP=CP．

∴當(dāng)PA+PF最小時(shí)，△PAF的周長(zhǎng)最小，
即點(diǎn)P為CF與BE的交點(diǎn)時(shí)，C，P，F三點(diǎn)共線(xiàn)，PA+PF=PC+PF最小，
此時(shí)△PAF的周長(zhǎng)=PA+PF+AF=CP+PE+AF=CF+AF．

在Rt△ACD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則CE=DE，
∴∠ECD=∠D=30°，∴∠ACE=90°-30°=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴AC=AE=CE=4．
∵AF=EF，∴CF⊥AE，
∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，AF=AE=2．

∴CF=，

∴△PAF的周長(zhǎng)最小值=CF+AF=+2．